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Normaler Abschluss
In der Mathematik ist der normale Abschluss ein Begriff aus der Gruppentheorie. In einer Gruppe G {\displaystyle G} {\displaystyle G} ist der normale …
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Begriff und Bedeutung
Der normale Abschluss einer Teilmenge A ⊂ G ist in der Gruppentheorie der kleinste Normalteiler von G, der A enthält. Ein Normalteiler ist eine Untergruppe, die unter Konjugation mit allen Elementen der Gruppe G unverändert bleibt.
Äquivalente Definitionen
Der normale Abschluss von A kann gleichwertig auf drei Arten beschrieben werden:
- als Durchschnitt aller Normalteiler in G, die A enthalten;
- als die von A^G = {gag⁻¹ : a ∈ A, g ∈ G} erzeugte Untergruppe, wobei A^G alle Konjugierten der Elemente aus A enthält;
- als die Menge der endlichen Produkte von Elementen aus A und ihren Konjugierten.
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