Mach-Zahl

Grundidee und Bedeutung

Die Mach-Zahl (auch Machzahl, machsche Zahl oder Mach’sche Zahl; Formelzeichen Ma) ist eine dimensionslose Kennzahl der Strömungslehre. Sie beschreibt das Verhältnis der Geschwindigkeit v, beispielsweise der Geschwindigkeit eines Körpers, zur Schallgeschwindigkeit c des umgebenden Fluids. Sie wird vor allem bei kompressiblen Strömungen verwendet, also bei Strömungen, in denen Änderungen der Dichte eine wichtige Rolle spielen.

Die Definition lautet:

Ma = v / c

Dabei steht v für die Strömungsgeschwindigkeit und c für die Schallgeschwindigkeit. Eine Mach-Zahl von 1, umgangssprachlich „Mach 1“, bedeutet daher eine Bewegung mit Schallgeschwindigkeit. Ist ein Flugzeug genauso schnell wie der Schall, fliegt es mit Mach 1; im Artikel wird dafür der Wert 1.234,8 km/h genannt. Mach 2 bedeutet die doppelte Schallgeschwindigkeit, Mach 3 die dreifache und so weiter. Eine Umrechnung in eine genaue Geschwindigkeit ist jedoch nur möglich, wenn die betreffende Schallgeschwindigkeit bekannt ist, da sie von den Bedingungen des Fluids abhängt.

Strömungsbereiche

Mit der Mach-Zahl lassen sich Strömungen in Bereiche einteilen:

• Ma < 0,8: subsonische Strömung
• 0,8 < Ma < 1,2: transsonische Strömung
• Ma > 1,2: supersonische Strömung
• Ab Ma > 5: hypersonische Strömung

Diese Bereiche erfordern unterschiedliche Lösungsansätze, weil jeweils andere physikalische Phänomene auftreten. Ein besonders wichtiger Übergang betrifft die Kompressibilität. Für Ma > 0,3 treten kompressible Effekte in der Strömung auf. Für Ma < 0,3 spielen solche Effekte im Regelfall keine wichtige Rolle; man spricht dann von einer inkompressiblen Strömung.

Mach-Zahl in Gasen

Am häufigsten wird die Mach-Zahl bei einem gasförmigen Fluid verwendet. Mithilfe der idealen Gasgleichung kann die Schallgeschwindigkeit c in Gasen durch die Temperatur T ausgedrückt werden. Dadurch ergibt sich:

Ma = v / √(κ R_S T)

Dabei bezeichnet κ den Isentropenexponenten des Fluids unter den gegebenen Randbedingungen. Der Isentropenexponent beschreibt eine für die Schallgeschwindigkeit wichtige thermodynamische Eigenschaft des Fluids. R_S ist die auf die Molmasse M bezogene allgemeine Gaskonstante R:

R_S = R / M

T steht für die Temperatur des betrachteten Gases.

Der Isentropenexponent κ ist im Allgemeinen auch bei einem bestimmten Fluid nicht immer gleich, sondern hängt vom Druck p und von der Temperatur T ab. Wenn Druck- und Temperaturveränderungen hinreichend klein sind, kann κ näherungsweise als konstant angenommen werden.

Anwendung in der Luftfahrt

In der Luftfahrt dient die Mach-Zahl zur dimensionslosen Angabe der Fluggeschwindigkeit schnell fliegender Flugzeuge. Sie ist das Verhältnis der Fluggeschwindigkeit zur Schallgeschwindigkeit in der Umgebungsluft. Da die Schallgeschwindigkeit vor allem von der Lufttemperatur abhängt und die Lufttemperatur wiederum von der Flughöhe beeinflusst wird, ermöglicht die Mach-Zahl einen Vergleich der Fluggeschwindigkeit bei verschiedenen Flughöhen und Umgebungstemperaturen.

Das ist besonders für Verkehrsflugzeuge wichtig. Die vom Hersteller festgelegte Höchstgeschwindigkeit wird als M_MO (Mach Maximum Operating Number) angegeben. Sie bezieht sich auf die tatsächliche Fluggeschwindigkeit relativ zur Umgebungsluft, die als TAS (true airspeed) bezeichnet wird. Wird M_MO überschritten, kann die kritische Mach-Zahl erreicht werden. Dann können Grenzschichtablösungen auftreten, die Strömungsabrisse verursachen. Daraus ergeben sich ein Absturzrisiko und plötzlich auftretende, extreme mechanische Belastungen der Flugzeugstruktur. Ein Machmeter ist das spezielle Fluginstrument, das die Mach-Zahl anzeigt.

Die Schallgeschwindigkeit in Luft hängt von der Temperatur ab. Die Tabelle des Artikels nennt folgende Werte: Bei −50 °C 1080 km/h beziehungsweise 300 m/s, bei −25 °C 1134 km/h beziehungsweise 315 m/s, bei −00 °C 1193 km/h beziehungsweise 331 m/s, bei −20 °C 1235 km/h beziehungsweise 343 m/s sowie bei −25 °C 1245 km/h beziehungsweise 346 m/s. Die Temperaturangaben der Tabelle enthalten damit doppelte beziehungsweise widersprüchlich wirkende Einträge und werden hier nicht vereinheitlicht.

Ein konkretes Beispiel bezieht sich auf eine Flughöhe von ungefähr 10.000 m: Bei −50 °C und einem Luftdruck von 26 kPa beträgt die Schallgeschwindigkeit nach der Standardatmosphäre rund 300 m/s beziehungsweise 1080 km/h. Ein Passagierflugzeug mit einer Reisegeschwindigkeit von Mach 0,8 fliegt unter diesen Bedingungen mit 240 m/s beziehungsweise 864 km/h.

Für die Umrechnung von Fluggeschwindigkeiten gilt außerdem: 1 Knoten = 1,852 km/h = 0,51̅4 m/s.