Lorenz-Attraktor

Grundidee und Bedeutung

Der Lorenz-Attraktor ist der seltsame Attraktor eines Systems aus drei gekoppelten, nichtlinearen gewöhnlichen Differentialgleichungen. Ein Attraktor ist eine Menge von Zuständen, der sich die Entwicklung eines dynamischen Systems annähert. Als „seltsam“ wird ein Attraktor bezeichnet, wenn auf ihm chaotisches Verhalten auftritt.

Das Lorenz-System lautet: Ẋ = a(Y − X) Ẏ = X(b − Z) − Y Ż = XY − cZ

Dabei sind X, Y und Z zeitabhängige Zustandsgrößen; die Punkte über den Buchstaben stehen für deren zeitliche Ableitungen. Die Konstanten a, b und c sind Parameter, die das Verhalten des Systems bestimmen. Weil die Gleichungen gekoppelt sind, hängt die Änderung jeder Zustandsgröße von mindestens einer weiteren Größe ab. Nichtlinear ist das System wegen der Produkte XZ und XY.

Der Meteorologe Edward N. Lorenz (1917–2008) formulierte das System um 1963 als Idealisierung eines hydrodynamischen Systems. Aufbauend auf einer Arbeit von Barry Saltzman (1931–2001) wollte er Zustände der Erdatmosphäre für Langzeitvorhersagen modellieren. Lorenz betonte jedoch, dass sein System nur in sehr begrenzten Parameterbereichen von a, b und c realistische Ergebnisse liefert.

Physikalische Herleitung

Ausgangspunkt der Herleitung ist ein Modell für Konvektionsströmungen. Der französische Physiker Henri Bénard untersuchte dieses Modell experimentell um die Wende vom 19. zum 20. Jahrhundert; Lord Rayleigh beschrieb es 1916 theoretisch.

Zwischen zwei Platten mit geringem Abstand befindet sich ein viskoses, inkompressibles Fluid, also eine zähflüssige Flüssigkeit, deren Dichte bei der Strömung als unveränderlich betrachtet wird. Bei kleinen Temperaturunterschieden zwischen Ober- und Unterseite kann Wärmeleitung die Unterschiede ausgleichen. Wird eine kritische Temperaturdifferenz überschritten, beginnt sich die Flüssigkeit zu bewegen: Es entstehen Konvektionsrollen, die Wärme effizienter transportieren. Von unten erwärmte Flüssigkeitselemente besitzen eine geringere Dichte und steigen auf, während kältere Flüssigkeitsvolumina absinken.

Die vollständige mathematische Beschreibung erfolgt mit den Navier-Stokes-Gleichungen. Durch mehrere Vereinfachungen, darunter endlich abgebrochene Reihendarstellungen, entsteht daraus das dreidimensionale Lorenz-System. Das Modell reduziert damit einen komplizierten Strömungsvorgang auf drei gekoppelte Zustandsgrößen.

Chaotisches Verhalten

Numerische Lösungen des Lorenz-Systems zeigen bei bestimmten Parameterwerten deterministisch chaotisches Verhalten. „Deterministisch“ bedeutet, dass der weitere Verlauf durch die Gleichungen und den Anfangszustand vollständig festgelegt ist. Trotzdem können sehr ähnliche Anfangszustände langfristig stark unterschiedliche Entwicklungen hervorbringen. Die Trajektorien, also die zeitlichen Wege der Systemzustände im dreidimensionalen Phasenraum, folgen dabei einem seltsamen Attraktor.

Eine typische Parametereinstellung für eine chaotische Lösung ist a = 10, b = 28 und c = 8/3. Dabei kann a mit der Prandtl-Zahl und b mit der Rayleigh-Zahl identifiziert werden. Beide sind Kennzahlen aus der Strömungs- und Wärmelehre.

Der Lorenz-Attraktor ist für die mathematische Chaostheorie besonders wichtig, weil die drei Gleichungen wohl eines der einfachsten Systeme bilden, die chaotisches Verhalten zeigen. Darstellungen des Attraktors werden numerisch berechnet, beispielsweise mit einem Runge-Kutta-Verfahren mit fester Schrittgröße. Eine im Artikel beschriebene dreidimensionale Darstellung besteht aus 2900 auf diese Weise berechneten Punkten.

Obwohl der Attraktor schon lange numerisch beobachtet und mathematisch untersucht wurde, gelang der Beweis, dass er tatsächlich ein seltsamer Attraktor ist, erst 1999 dem Mathematiker Warwick Tucker.

Schmetterlingseffekt und weitere Anwendung

Mit dem Lorenz-Attraktor ist das Schlagwort „Schmetterlingseffekt“ eng verbunden. Es bezeichnet als Metapher der Chaosforschung die Vorstellung, dass kleine Ursachen große Wirkungen haben können. Am Lorenz-System lässt sich veranschaulichen, dass geringe Unterschiede in einem atmosphärischen Strömungszustand später zu deutlich verschiedenen Entwicklungen führen können. Das chaotische Verhalten der Gleichungen wurde deshalb wiederholt öffentlich herangezogen, um Erscheinungen der realen Welt zu erklären. Die Aussagekraft des Modells bleibt jedoch durch Lorenz’ Hinweis eingeschränkt, dass es nur in sehr begrenzten Parameterbereichen realistische atmosphärische Ergebnisse liefert.

Das Gleichungssystem ist nicht ausschließlich auf Konvektionsströmungen bezogen. Hermann Haken zeigte, dass damit auch Vorgänge in Lasern modelliert werden können, weil das Lorenz-System äquivalent zu den Maxwell-Bloch-Gleichungen ist.