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Limes superior und Limes inferior von Mengenfolgen
In der Mathematik sind der Limes superior und der Limes inferior einer Mengenfolge Begriffe aus der Maßtheorie und Wahrscheinlichkeitstheorie, …
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Grundidee und Definition
Der Limes superior und der Limes inferior verallgemeinern entsprechende Begriffe für Zahlenfolgen und Funktionenfolgen auf Mengenfolgen. Sie werden in Maßtheorie und Wahrscheinlichkeitstheorie verwendet, etwa um Ereignisse zu beschreiben, die unendlich oft eintreten, oder um die Konvergenz von Mengenfolgen zu definieren.
Für eine Mengenfolge (A_n)_{n\in\mathbb N} in einer Obermenge \Omega gilt:
\liminf_{n\to\infty} A_n=\bigcup_{n=1}^{\infty}\left(\bigcap_{m=n}^{\infty}A_m\right).
Der Limes inferior enthält also Elemente, die ab einem bestimmten Index dauerhaft in allen folgenden Mengen liegen.
\limsup_{n\to\infty} A_n=\bigcap_{n=1}^{\infty}\left(\bigcup_{m=n}^{\infty}A_m\right).
Der Limes superior enthält Elemente, die nach jedem beliebigen Index noch einmal in einer folgenden Menge vorkommen. Alternative Schreibweisen sind \varliminf_{n\to\infty} und \varlimsup_{n\to\infty}.
Bedeutung der beiden Mengen
Es gilt:
\limsup_{n\to\infty}A_n=\{\omega\in\Omega\mid \omega\text{ ist in unendlich vielen Mengen }A_n\text{ enthalten}\},
\liminf_{n\to\infty}A_n=\{\omega\in\Omega\mid \omega\text{ ist in allen bis auf endlich viele Mengen }A_n\text{ enthalten}\}.
Für den Limes inferior betrachtet man für jeden Index N die Schnittmenge C_N=\bigcap_{m=N}^{\infty}A_m. Ein Element \omega liegt in C_N, wenn es für alle n\geq N in A_n liegt. Da der Limes inferior die Vereinigung aller C_N ist, genügt es, dass ein solches N existiert. Dann fehlt \omega nur in endlich vielen Mengen der Folge.
Für den Limes superior betrachtet man D_N=\bigcup_{m=N}^{\infty}A_m. Ein Element liegt in D_N, wenn es ein n\geq N gibt, für das \omega\in A_n gilt. Weil der Limes superior der Schnitt aller D_N ist, muss dies für jedes N möglich sein. Anders gesagt: Es gibt keinen Index, ab dem das Element in keiner folgenden Menge mehr vorkommt.
Beispiel mit Intervallen
Für A_n=[-1,n] und \Omega=\mathbb R gilt B_n:=\bigcap_{m=n}^{\infty}A_m=[-1,n]. Daher ist \liminf_{n\to\infty}A_n=\bigcup_{n=1}^{\infty}[-1,n]=[-1,\infty).
Für den Limes superior gilt C_n:=\bigcup_{m=n}^{\infty}A_m=[-1,\infty), und somit \limsup_{n\to\infty}A_n=\bigcap_{n=1}^{\infty}[-1,\infty)=[-1,\infty).
In diesem Beispiel stimmen Limes inferior und Limes superior überein.
Charakteristische Funktionen und Konvergenz
Die charakteristische Funktion \chi_A einer Menge A beschreibt punktweise, ob ein Element zu A gehört. Für Vereinigungen und Schnitte gilt:
\chi_A(x)=\sup_n\chi_{A_n}(x)\quad\text{für }A=\bigcup_n A_n, \chi_A(x)=\inf_n\chi_{A_n}(x)\quad\text{für }A=\bigcap_n A_n.
Daraus folgt für Mengenfolgen: \chi_{\limsup_{n\to\infty}A_n}=\limsup_{n\to\infty}\chi_{A_n} und \chi_{\liminf_{n\to\infty}A_n}=\liminf_{n\to\infty}\chi_{A_n}.
Eine Mengenfolge konvergiert, wenn Limes inferior und Limes superior übereinstimmen. Dies ist beispielsweise der Fall, wenn es zu jedem \omega einen Index N=N(\omega) gibt, so dass entweder \omega\in A_n für alle n\geq N oder \omega\notin A_n für alle n\geq N gilt. Jedes Element gehört dann ab einem bestimmten Punkt entweder stets zu den Mengen oder stets nicht mehr zu ihnen.
In der Wahrscheinlichkeitstheorie kommt der Limes superior unter anderem im Borel-Cantelli-Lemma und im Kolmogorowschen Null-Eins-Gesetz vor; dort sind solche Mengen typische terminale Ereignisse. Konvergente Mengenfolgen treten auch in der Maßtheorie auf.