Larson-Nomogramm

Kernidee und Einsatz

Das Larson-Nomogramm ist ein zweidimensionales Diagramm der Binomialverteilung. Mit ihm lassen sich Werte der Verteilungsfunktion näherungsweise grafisch bestimmen. Die Verteilungsfunktion wird im Artikel auch Wahrscheinlichkeitssumme genannt: Sie gibt an, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass in einer Stichprobe bis zu einer bestimmten Zahl x fehlerhafte Einheiten vorkommen.

Seine wichtigste praktische Bedeutung hat das Larson-Nomogramm in der Qualitätssicherung, besonders in der industriellen Serienproduktion. Dort dient es als Hilfsmittel zur Beurteilung der Qualitätslage, für die Stichprobentechnik und für Qualitätsregelkarten. Es kann außerdem für Verwaltungs- und Dienstleistungsprozesse genutzt werden, auch wenn diese Anwendung weniger bekannt ist.

Benannt ist das Nomogramm nach Harry R. Larson. Er veröffentlichte es im Dezember 1966 unter dem Titel „A nomograph of the cumulative binomial distribution“ in Industrial Quality Control.

Formelzeichen und Größen

Im Larson-Nomogramm werden in der Qualitätssicherung teilweise andere Formelzeichen verwendet als in mathematischen Fachbüchern.

G bezeichnet die Verteilungsfunktion, also die Wahrscheinlichkeitssumme. Sie ist die Wahrscheinlichkeit, dass in einer Stichprobe bis zu x fehlerhafte Einheiten auftreten. Wenn zum Beispiel bis zu 2 fehlerhafte Einheiten zulässig sind, interessiert nicht nur die Wahrscheinlichkeit für genau 2 fehlerhafte Einheiten. Entscheidend ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten für 0, 1 und 2 fehlerhafte Einheiten. Die Werte von G stehen auf der Skala am rechten Rand des Nomogramms. Diese Skala ist nicht in Prozent angegeben: Eine Wahrscheinlichkeitssumme von 1 % entspricht dem Wert 0,01.

p bezeichnet den Anteil fehlerhafter Einheiten in der Grundgesamtheit. Die Grundgesamtheit ist in der Qualitätssicherung die Menge der Teile, aus der die Stichprobe genommen wurde. Sie muss im Vergleich zur Stichprobe groß sein, weil sonst die mathematischen Gesetze der Binomialverteilung nicht gelten. Die p-Skala befindet sich am linken Rand des Nomogramms und ist ebenfalls nicht in Prozent angegeben: 10 % entsprechen dem Wert 0,10.

x bezeichnet die Anzahl fehlerhafter Einheiten in der Stichprobe. Bei der Binomialverteilung kann eine Einheit nur fehlerhaft oder nicht fehlerhaft sein; Zwischenstufen wie „zweite Wahl“ sind dabei nicht zulässig.

n bezeichnet den Stichprobenumfang, also die Anzahl der Teile in der Stichprobe. Gemeint ist kein geometrischer Umfang. Eine Stichprobe kann aus Teilen der Serienproduktion bestehen, aber auch aus Rechnungen oder Briefen, die bewertet werden.

Aufbau des Nomogramms

In der Mitte des Larson-Nomogramms liegt ein Liniennetz. Es enthält Linien für die Anzahl fehlerhafter Einheiten x und Linien für den Stichprobenumfang n. Beide Größen sind natürliche Zahlen.

Die Linien für n=0 und n=1 fehlen, weil Stichproben in der Qualitätssicherung erst ab n=2 sinnvoll sind. Der Wert x=0 kommt dagegen oft vor: Dann enthält die Stichprobe keine fehlerhafte Einheit.

Die Werte für p werden am linken Rand abgelesen, die Werte für G am rechten Rand. Zwischen diesen beiden Skalen wird mithilfe des Liniennetzes und einer geraden Verbindungslinie gearbeitet.

Theoretische Funktionsweise

Die Zahlen x und n bestimmen im Liniennetz einen Schnittpunkt. Dieser Schnittpunkt liegt auf einer geraden Linie zwischen dem p-Wert auf der linken Skala und dem G-Wert auf der rechten Skala.

Daraus folgt das Grundprinzip: Von den vier Werten G, x, n und p müssen drei bekannt sein. Dann kann man durch das Einzeichnen einer geraden Linie den fehlenden Wert bestimmen. Der fehlende Wert wird entweder auf einer Skala oder im Liniennetz abgelesen.

Praktisches Vorgehen

Für die praktische Arbeit braucht man ein gedrucktes oder kopiertes Larson-Nomogramm, ein durchsichtiges Lineal von etwa 25 cm Länge, einen spitzen Bleistift HB, einen Textmarker und einen Radiergummi für Korrekturen.

Sind p und/oder G bekannt, werden diese Werte auf den entsprechenden Skalen markiert. Sind x und n bekannt, wird ihr Schnittpunkt im Liniennetz markiert oder eingekreist. Ab n > 10 und ab x > 10 sind nicht mehr alle Linien eingezeichnet; dann müssen auch „unsichtbare“ Zwischenlinien berücksichtigt werden.

Ist nur x oder nur n bekannt, sollte die entsprechende Linie besser mit einem fluoreszierenden Textmarker markiert werden. „Unsichtbare“ Zwischenlinien lassen sich mit dem Bleistift ergänzen.

Für jede Aufgabe gilt: Von G, p, x und n müssen drei Werte beziehungsweise Zahlen bekannt sein. Sind weniger als drei bekannt, lässt sich die Aufgabe nicht lösen. Sind alle vier bereits bekannt, muss nichts mehr bestimmt werden, außer möglicherweise zur Kontrolle. Man markiert die drei bekannten Werte, zeichnet eine gerade dünne Bleistiftlinie und liest den fehlenden Wert ab.

Nutzen, Grenzen und Alternativen

Ein wichtiger Vorteil des Larson-Nomogramms ist seine einfache Handhabung. Man muss dafür kein Mathematiker sein und keine besonderen theoretischen Statistikkenntnisse besitzen. Mit einem gedruckten Nomogramm, Bleistift und Lineal lassen sich in wenigen Sekunden Ergebnisse ermitteln.

Ein kleiner Nachteil ist, dass die Ergebnisse nur näherungsweise genau sind. Die geringen Abweichungen von mathematisch exakten Werten haben laut Artikel für die Praxis meistens keine Bedeutung.

Als Alternativen nennt der Artikel mehrere Möglichkeiten: Für kleine Zahlen kann die Binomialverteilung mit Formeln berechnet werden. Bei größeren Zahlen eignen sich Taschenrechner oder noch besser programmierbare Taschenrechner. Außerdem können Werte aus bestimmten statistischen Tabellen abgelesen werden, und es gibt spezielle Computerprogramme zur Berechnung der Binomialverteilung.