Faktorisierung

Grundidee der Faktorisierung

Eine Faktorisierung ist in der Mathematik die Zerlegung eines mathematischen Objekts in mehrere nichttriviale Faktoren. Dabei wird ein Objekt X als Verknüpfung meist einfacherer Objekte dargestellt:

X = a₁ * a₂ * ⋯ * aₙ

Das Zeichen * steht für eine geeignete Verknüpfung in der jeweiligen algebraischen Struktur (A, *). Welche Faktoren möglich sind, hängt daher vom betrachteten mathematischen Bereich und von seiner Verknüpfung ab.

Ein grundlegendes Beispiel ist die Faktorisierung in der multiplikativen Struktur der natürlichen Zahlen (ℕ, ·):

12 = 2 · 2 · 3 = 2² · 3.

Die Zahl 12 wird dabei in die nichttrivialen Faktoren 2 und 3 zerlegt. Bei natürlichen Zahlen führt dies zur Primfaktorzerlegung.

Zahlen, Terme und Polynome

Bei natürlichen Zahlen ist die Primfaktorzerlegung stets eindeutig. Faktorisierungsverfahren dienen dazu, diese Zerlegung tatsächlich zu bestimmen.

Algebraische Terme lassen sich häufig faktorisieren, indem man zunächst gemeinsame Faktoren ausklammert oder binomische Formeln anwendet. Dadurch wird ein Term als Produkt einfacherer Terme geschrieben.

Auch Polynome können faktorisiert werden. Über einem algebraisch abgeschlossenen Körper gibt es immer eine Faktorisierung in Linearfaktoren. Ein Linearfaktor ist ein Faktor ersten Grades, also ein Faktor, in dem die Variable höchstens in der ersten Potenz vorkommt.

Matrizen, Datenanalyse und Ringe

Bei Matrizen bedeutet Faktorisierung, eine Matrix als Produkt mehrerer Matrizen darzustellen. Ein wichtiges Beispiel ist die Dreieckszerlegung, auch LU- oder LR-Zerlegung genannt. Sie wird unter anderem zur Lösung linearer Gleichungssysteme verwendet. In der numerischen Praxis wird die LR-Zerlegung meist mit dem Gaußschen Eliminationsverfahren gewonnen.

Eine weitere Matrizenfaktorisierung aus der Numerik ist die QR-Zerlegung. Sie kann normalerweise mithilfe von Householdertransformationen oder Givens-Rotationen berechnet werden.

In der Datenanalyse werden unter anderem die non negative matrix factorization und die binary matrix factorization untersucht. Dabei werden Matrizen in zwei Cluster- beziehungsweise Konzeptmatrizen zerlegt.

Auf abstrakter Ebene versucht man, Elemente von Ringen in elementare Faktoren zu zerlegen. Neben Zahl-, Polynom- und Matrix-Ringen können auch Operator-Ringe betrachtet werden.

Weitere mathematische Bedeutungen

In der Wahrscheinlichkeitstheorie bezeichnet Faktorisierung die Zerlegung einer Zufallsvariablen in unabhängige Summanden. Der Zusammenhang beruht darauf, dass die charakteristische Funktion einer Summe unabhängiger Zufallsvariablen das Produkt der einzelnen charakteristischen Funktionen ist.

Die statistische Faktorenanalyse nach Spearman ist ein weiteres Anwendungsgebiet.

In der Aussagenlogik kann eine Proposition A in Bezug auf eine andere Proposition B folgendermaßen faktorisiert werden:

A = (B → A) ∧ (A ∨ B).

In der Graphentheorie nennt man die Zerlegung eines Graphen G in Teilgraphen, bei denen jeder Knoten x genau eine bestimmte Anzahl a von Nachbarknoten hat, eine Faktorisierung. Das Ergebnis heißt a-Faktor; ein Beispiel ist ein 1-Faktor.