Chiralität (Physik)

Grundidee und Bedeutung

Chiralität bezeichnet in der relativistischen Quantenmechanik und Quantenfeldtheorie die „Händigkeit“ eines Teilchens. Sie beschreibt die Zerlegung eines Dirac-Spinors – der mathematischen Zustandsbeschreibung eines Fermions – in zwei orthogonale Anteile: einen rechtshändigen und einen linkshändigen Zustand. Unter einer Paritätsoperation, also einer räumlichen Spiegelung, gehen diese Zustände ineinander über.

Besonders wichtig ist die Chiralität für die schwache Wechselwirkung: W-Bosonen koppeln nur an Teilchen mit negativer, also linkshändiger Chiralität, und an Antiteilchen mit positiver, also rechtshändiger Chiralität.

Chiralität darf nicht mit Helizität verwechselt werden. Die Helizität beschreibt die Komponente des Spins in Bewegungsrichtung. Anders als die Chiralität ist sie nicht lorentzinvariant, kann sich also beim Wechsel in ein anderes Bezugssystem ändern. Nur bei masselosen Teilchen, die sich mit Lichtgeschwindigkeit bewegen, stimmen Chiralität und Helizität bis auf einen Spin-Faktor überein.

Mathematische Definition

Der Chiralitätsoperator ist die fünfte Gamma-Matrix

γ⁵ = iγ⁰γ¹γ²γ³.

Der Operator ist hermitesch und selbstinvers. Deshalb besitzt er die Eigenwerte +1 und −1:

• Ein Eigenzustand zum Eigenwert +1 hat positive oder rechtshändige Chiralität.
• Ein Eigenzustand zum Eigenwert −1 hat negative oder linkshändige Chiralität.

Die Operatoren

P_R = (1 + γ⁵)/2 und P_L = (1 − γ⁵)/2

bilden einen vollständigen Satz von Projektionsoperatoren. Ein Projektionsoperator wählt aus einem Zustand einen bestimmten Anteil aus. P_R projiziert den rechtshändigen, P_L den linkshändigen Anteil eines Dirac-Spinors heraus. Für diese Anteile gilt

γ⁵P_R/Lψ ≡ γ⁵ψ_R/L = ±ψ_R/L.

Damit lässt sich jeder Dirac-Spinor in einen rechts- und einen linkshändigen Anteil zerlegen.

Masselose und massive Fermionen

Für masselose Fermionen ergibt sich aus der Dirac-Gleichung die Weyl-Gleichung

iγ^μ∂_μψ = 0.

Da kein Masseterm vorhanden ist, entkoppeln die vier Komponenten des Dirac-Spinors in der Weyl-Darstellung zu zwei unabhängigen Zweierspinoren ψ_L und ψ_R. Der Chiralitätsoperator hat dort die Blockform

γ⁵ = ((−I₂, 0), (0, I₂)).

Der obere Zweierspinor ψ_L ist daher der linkshändige und der untere Zweierspinor ψ_R der rechtshändige Anteil. Der Chiralitätsoperator kommutiert mit dem Weyl-Hamiltonoperator. Deshalb können Zustände gleichzeitig eine bestimmte Energie und eine bestimmte Chiralität besitzen.

Da Neutrinos nur schwach wechselwirken, wären rechtshändige Neutrinos und linkshändige Antineutrinos hypothetische sterile Teilchen, also Teilchen ohne die hier betrachtete schwache Kopplung. Im Standardmodell besitzen alle Neutrinos negative Chiralität und alle Antineutrinos positive Chiralität.

Bei massebehafteten Fermionen enthält der Dirac-Hamiltonoperator dagegen einen Masseterm und kommutiert nicht mit dem Chiralitätsoperator. Es gibt deshalb keine gemeinsamen Eigenzustände von Energie und Chiralität. Die Chiralität eines massiven Objekts ist keine Erhaltungsgröße, weil der Chiralitätsoperator auch nicht mit dem Zeitentwicklungsoperator kommutiert. Dennoch kann jeder Zustand mithilfe von P_R und P_L weiterhin in rechts- und linkshändige Anteile zerlegt werden.

Rolle in der schwachen Wechselwirkung

In der historischen V-A-Theorie projizieren die geladenen Ströme der schwachen Wechselwirkung nur den linkshändigen Anteil der Fermionen heraus. Nur dieser Anteil nimmt an der geladenen schwachen Wechselwirkung teil.

In der Glashow-Salam-Weinberg-Theorie der elektroschwachen Vereinigung werden die linkshändigen Anteile einer Teilchengeneration zu Dubletts des schwachen Isospins zusammengefasst. Beispiele sind (ν_e,e)_L und (u,d)_L. Die rechtshändigen Anteile e_R, u_R und d_R werden dagegen als Singuletts behandelt. Ein Dublett besteht dabei aus zwei zusammengehörigen Komponenten, ein Singulett aus einer einzelnen Komponente.

Daraus folgen unterschiedliche Kopplungen:

• Die geladenen schwachen Ströme, die durch W-Bosonen vermittelt werden, wirken nur auf linkshändige Anteile.
• Der neutrale schwache Strom des Z-Bosons koppelt unterschiedlich stark an rechts- und linkshändige Anteile.
• Der elektromagnetische Strom des Photons unterscheidet nicht zwischen rechts- und linkshändigen Anteilen.

Helizität, Parität und CP-Invarianz

Der Helizitätsoperator projiziert den Spin eines Teilchens auf seine Bewegungsrichtung. Er ist nicht lorentzinvariant. Im Unterschied zum Chiralitätsoperator kommutiert er jedoch mit dem Dirac-Hamiltonoperator, weshalb die Helizität eine Erhaltungsgröße ist. Für masselose Fermionen stimmen Helizität und Chiralität bis auf einen Spin-Faktor überein.

Die Chiralität ist nicht unter einer einzelnen Paritätsoperation P invariant. Weil γ⁵ mit den Gamma-Matrizen antikommutiert, verwandelt die Paritätsoperation einen rechtshändigen Zustand in einen linkshändigen und umgekehrt:

Pψ_R/L(x) = (Pψ(x))_L/R.

Auch die Ladungskonjugation C, die Teilchen und Antiteilchen miteinander verbindet, kehrt die Chiralität um:

Cψ_R/L(x) = (Cψ(x))_L/R.

Paritätsoperation und Ladungskonjugation ändern die Chiralität somit jeweils einzeln. Werden beide Operationen nacheinander ausgeführt, wird die Chiralität zweimal umgekehrt und bleibt insgesamt erhalten. Diese Eigenschaft wird als CP-Invarianz bezeichnet.