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Beweis der Irrationalität von π
Es gibt mehrere Beweise der Irrationalität von π. Die Kreiszahl π {\displaystyle \pi } {\displaystyle \pi } ist irrational, denn es gibt keine ganzen Zahlen …
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Kernaussage
Die Kreiszahl π ist irrational. Das bedeutet: Es gibt keine ganzen Zahlen a und b, für die π = a/b gilt. Mehrere Beweise zeigen dies als Widerspruchsbeweis: Man nimmt zunächst an, π sei als Bruch ganzer Zahlen darstellbar, und leitet daraus einen Widerspruch ab.
Beweis über den Tangens
Johann Heinrich Lambert bewies 1761 als Erster die Irrationalität von π. Sein Ausgangspunkt ist der Kettenbruch
tan(x) = x/(1 − x²/(3 − x²/(5 − x²/(7 − …)))) .
Lambert zeigte, dass tan(x) nicht rational sein kann, wenn x eine von Null verschiedene rationale Zahl ist. Da tan(π/4) = 1 rational ist, kann π/4 nicht rational sein. Daher ist auch π irrational.
Miklós Laczkovich vereinfachte Lamberts Beweis.
Beweis mit Infinitesimalrechnung
Charles Hermite fand im 19. Jahrhundert einen Beweis mit grundlegenden Methoden der Infinitesimalrechnung. Der 1873 veröffentlichte Beweis verwendet die Charakterisierung von π als kleinste positive Zahl mit cos(π/2) = 0. Daraus folgt, dass π² irrational ist; damit ist auch π irrational. Auch dieser Beweis ist ein Widerspruchsbeweis.
Mary Cartwright, Ivan Niven und Nicolas Bourbaki vereinfachten Hermites Beweis.