Betazerfall

Grundprinzip und Stabilität von Kernen

Betazerfall (β-Zerfall oder Betaübergang) ist ein radioaktiver Vorgang, bei dem sich in einem Atomkern ein Neutron in ein Proton oder ein Proton in ein Neutron umwandelt. Dabei werden energiereiche Elektronen oder Positronen mit Energien in der Größenordnung 10^5 … 10^6 eV ausgesandt; sie heißen Betateilchen. Die Massenzahl A bleibt beim Betazerfall gleich, die Kernladungszahl Z ändert sich um 1. Der Tochterkern ist damit ein anderes chemisches Element, aber ein Isobarer: ein Kern mit derselben Massenzahl.

Für stabile oder langlebige Kerne müssen Protonenzahl Z und Neutronenzahl N ausgewogen sein. Bei leichten Kernen gilt ungefähr N−Z = 0 … 2 für A ≤ 35, ausgenommen ^1H und ^3He. Schwerere Kerne benötigen wegen der elektrostatischen Abstoßung ihrer Protonen einen zunehmenden Neutronenüberschuss; bei Blei-208 beträgt N/Z = 126:82 ≈ 1,54. Ist das Verhältnis ungünstig, kann eine Umwandlung durch Betazerfall energetisch vorteilhaft sein.

Ein Zerfall ist möglich, wenn die Atommasse des Mutternuklids größer ist als die Summe aus Atommasse des Tochternuklids und Masse des Betateilchens. Die Massendifferenz wird nach der Äquivalenz von Masse und Energie als Bewegungsenergie frei. Das leichte Betateilchen und das nahezu masselose (Anti-)Neutrino erhalten fast die gesamte Energie, der schwere Tochterkern nur einige eV. Bei leichten und mittelschweren Kernen ist Betazerfall die einzige Art von Radioaktivität; bei sehr schweren Kernen ist auch Alphazerfall möglich. In natürlichen Zerfallsreihen und bei Kernspaltung überwiegt β^−-Zerfall.

Beta-Minus, Beta-Plus und Elektroneneinfang

Beim β^−-Zerfall besitzen Nuklide einen Neutronenüberschuss. Ein Neutron wird zu einem Proton; zugleich entstehen ein Elektron und ein Elektron-Antineutrino. Die Reaktion eines freien Neutrons lautet:

^1_0n → ^1_1p + e^− + ν̄_e

Allgemein gilt:

^A_ZX → ^A_{Z+1}Y + e^− + ν̄_e

Z erhöht sich also um 1, und das Element geht im Periodensystem zu seinem Nachfolger über. Ein Beispiel ist:

^198_79Au → ^198_80Hg + e^− + ν̄_e

Die Zerfallsenergie beträgt E_0 = (m(Z,A)−m(Z+1,A))·c^2. Bei hochgeladenen schweren Ionen kann das erzeugte Elektron direkt einen gebundenen Zustand besetzen; dies heißt gebundener Betazerfall.

Beim β^+-Zerfall, der bei protonenreichen Nukliden auftritt, wird ein Proton zu einem Neutron. Es entstehen ein Positron und ein Elektron-Neutrino:

^1_1p → ^1_0n + e^+ + ν_e

^A_ZX → ^A_{Z−1}Y + e^+ + ν_e

Z sinkt um 1, das Element wird zum Vorgänger im Periodensystem. β^+-Zerfall ist nur möglich, wenn die Umwandlungsenergie mindestens 1022 keV beträgt, also der doppelten Ruheenergie von Elektron beziehungsweise Positron. Es gilt E_0 = (m(Z,A)−m(Z−1,A)−2m_e)·c^2. Kalium-40 kann selten nach ^40_18Ar zerfallen: ^40_19K → ^40_18Ar + e^+ + ν_e.

Elektroneneinfang ist ein Konkurrenzprozess zum β^+-Zerfall und zählt zu den Betazerfällen, obwohl keine Betastrahlung entsteht. Ein kernnahes Hüllenelektron wird eingefangen, ein Proton wird zum Neutron und ein Neutrino wird ausgesandt:

^A_ZX + e^− → ^A_{Z−1}Y + ν_e

Die Lücke in der Atomhülle erzeugt ein charakteristisches Röntgenphoton oder Auger-Elektronen. Elektroneneinfang ist bei jedem β^+-Strahler möglich und der alleinige Kanal, wenn die Umwandlungsenergie unter 1022 keV liegt. Er benötigt keine Mindestenergie; die Ruheenergie des Radionuklidatoms muss lediglich größer sein als die des Tochteratoms. Meist wird ein Elektron der innersten K-Schale eingefangen, daher die Bezeichnung K-Einfang.

Auswahlregeln und Energiespektrum

Ob ein Übergang wahrscheinlich ist, hängt neben der Energie auch von Bindungsenergien sowie von Drehimpuls- und Paritätserhaltung ab. Die zwei emittierten Leptonen besitzen jeweils Spin s = ½. Ihr Gesamtspin S ist entweder 0 beim Fermi-Übergang oder 1 beim Gamow-Teller-Übergang.

Für den Kernspin I gilt bei Fermi-Übergängen ΔI = 0. Bei Gamow-Teller-Übergängen gilt ΔI = 0, ±1, jedoch nicht 0 → 0. In beiden Fällen muss die Parität erhalten bleiben. Die zugehörigen Terme im Hamiltonoperator sind G_V 1̂ τ̂ für Fermi-Übergänge und G_A σ̂ τ̂ für Gamow-Teller-Übergänge. σ̂ sind Pauli-Matrizen des Spinoperators, τ̂ ist der Isospinoperator für den Übergang Proton–Neutron, 1̂ der Einheitsoperator im Spinraum. G_V und G_A sind die Vektor- beziehungsweise Axialvektorkopplungskonstanten der schwachen Wechselwirkung.

Auch Übergänge außerhalb dieser Regeln können erfolgen, wenn die Teilchen zusätzlichen Bahndrehimpuls ℓ > 0 tragen. Bei ungeradem ℓ wechselt die Parität, bei geradem ℓ bleibt sie erhalten. Solche „verbotenen“ oder behinderten Zerfälle sind deutlich seltener: Für jede Einheit von ℓ ist der Zerfall um einen Faktor 10^−4 … 10^−3 unterdrückt. Der vierfach verbotene Zerfall von ^115In mit J^P = 9/2^+ nach ^115Sn mit J^P = 1/2^+ benötigt ℓ = 4 und hat eine Halbwertszeit von 4.41e^14 Jahren. Haben Ausgangs- und Endkern dieselbe Schalenstruktur, ist der Überlapp ihrer Wellenfunktionen groß; solche besonders wahrscheinlichen Übergänge heißen übererlaubt.

Das Beta-Spektrum ist kontinuierlich, anders als bei Alphastrahlung. Die frei werdende Energie verteilt sich unter Erhaltung des Gesamtimpulses auf drei Teilchen: Tochterkern, Elektron oder Positron und (Anti-)Neutrino. Deshalb haben die einzelnen Teilchen keine jeweils feste Energie.

Sonderfälle und schwache Wechselwirkung

Betazerfall wird durch die schwache Wechselwirkung vermittelt. Beim β^−-Zerfall wird in einem Neutron mit Quarkzusammensetzung ddu eines der beiden Down-Quarks über ein virtuelles W^−-Boson in ein Up-Quark umgewandelt. So wird das Neutron zum Proton mit Zusammensetzung duu; dabei entstehen Elektron und Antineutrino. Beim β^+-Zerfall wandelt ein W^+-Boson umgekehrt ein Up-Quark eines Protons in ein Down-Quark um.

Beim doppelten Betazerfall gibt es einen stabileren isobaren Kern, dessen Ordnungszahl um ±2 abweicht, während der Zwischenkern mit um ±1 geänderter Ordnungszahl energetisch höher liegt. Zwei aufeinanderfolgende gewöhnliche Betazerfälle sind dann nicht möglich; stattdessen müssen sich zwei Nukleonen gleichzeitig umwandeln. Solche Zerfälle sind extrem unwahrscheinlich und nur bei wenigen Nukliden nachgewiesen.

Ein freies Neutron zerfällt ebenfalls durch β^−-Zerfall: n → p + e^− + ν̄_e. Seine Lebensdauer beträgt 878,4 ± 0,5 Sekunden, knapp 15 Minuten; dies entspricht einer Halbwertszeit von rund 10 Minuten. In normaler irdischer Umgebung wird ein freies Neutron jedoch viel schneller von einem Atomkern eingefangen.

Beim inversen Betazerfall reagiert ein Proton mit einem Elektron-Antineutrino: p + ν̄_e → n + e^+. Dafür sind mindestens 1,806 MeV nötig. Das Positron annihiliert im Detektormaterial mit einem Elektron; das Signal besitzt die Energie E_γ = 2·511 keV + E_ν̄e − 1806 keV = E_ν̄e − 784 keV. Das Neutron wird nach Moderation eingefangen und erzeugt dabei charakteristische Gammastrahlung von etwa 8 MeV, beispielsweise beim Einfang durch Cadmium-113. Der Prozess ermöglichte 1956 im Cowan-Reines-Neutrinoexperiment den ersten Neutrinonachweis. Als inverser Betazerfall wird auch p + e^− → n + ν_e bezeichnet; diese Reaktion spielt bei dichter Materie in Neutronensternen und weißen Zwergen eine Rolle.