Approximativer Konfidenzbereich

Begriff und Bedeutung

Approximative Konfidenzbereiche sind in der mathematischen Statistik eine besondere Klasse von Konfidenzbereichen. Sie dienen dazu, für eine unbekannte Größe oder Funktion einen Bereich anzugeben, der diese Größe mit einem vorgegebenen Konfidenzniveau abdeckt.

Der Unterschied zu herkömmlichen Konfidenzbereichen besteht darin, dass das Konfidenzniveau nicht zwingend für jede Stichprobengröße eingehalten wird. Es wird erst bei immer größer werdenden Stichproben erreicht oder mindestens erreicht. Die Konstruktion nutzt asymptotische Eigenschaften, also Eigenschaften für große Stichproben, etwa asymptotische Normalität und Grenzwertsätze der Stochastik. Dadurch können solche Bereiche in mehr Situationen eingesetzt werden.

Ist der Bereich ein Intervall, heißt er approximatives Konfidenzintervall. Bereichsschätzer, die solche Bereiche liefern, heißen approximative Bereichsschätzfunktionen.

Mathematische Voraussetzungen

Für n ∈ ℕ seien (X_n, 𝒜_n) Messräume und (P_{ϑ,n})_{ϑ ∈ Θ} Familien von Wahrscheinlichkeitsmaßen auf diesen Messräumen gegeben. Häufig handelt es sich dabei um Produktmodelle, die mit n schrittweise größer werden.

Weiter sei (Γ, 𝒜_Γ) ein Messraum. Die Funktion

g: Θ → Γ

ist die zu schätzende Funktion. Eine Folge von Bereichsschätzern (C_n)_{n ∈ ℕ} ordnet jeder Beobachtung aus X_n einen Bereich in Γ zu:

C_n: X_n → 𝒜_Γ.

Konfidenzniveau im Grenzfall

Die Folge (C_n)_{n ∈ ℕ} heißt approximative Bereichsschätzfunktion für g zum Konfidenzniveau 1 − α, wenn für alle ϑ ∈ Θ gilt:

liminf_{n→∞} P_ϑ^n({x ∈ X^n | g(ϑ) ∈ C_n(x)}) ≥ 1 − α.

Das bedeutet: Für große Stichproben ist die Wahrscheinlichkeit, dass der geschätzte Bereich C_n(x) den tatsächlichen Wert g(ϑ) enthält, mindestens 1 − α im Grenzfall. Der Limes inferior, geschrieben liminf, beschreibt dabei die untere Grenze der möglichen Grenzwerte dieser Wahrscheinlichkeiten.

Beispiel im Binomialmodell

Ein typisches approximatives Konfidenzintervall betrifft die Erfolgswahrscheinlichkeit einer Binomialverteilung. Seien X_i für alle i ∈ ℕ Bernoulli-verteilt und sei das Stichprobenmittel

X̄_n = (1/n) ∑_{i=1}^n X_i.

Dann ist zum Konfidenzniveau 1 − α ein mögliches approximatives Konfidenzintervall:

C_n(X) = [X̄_n − u_{1−α/2} √(X̄_n(1−X̄_n)/n), X̄_n + u_{1−α/2} √(X̄_n(1−X̄_n)/n)].

Es besteht aus dem Stichprobenmittel X̄_n und einer nach beiden Seiten addierten oder abgezogenen Fehlergrenze. Diese hängt von n, von X̄_n und von u_{1−α/2} ab.