Alphafehler-Kumulierung

Kernidee und Bedeutung

Alphafehler-Kumulierung, auch α-Fehler-Inflation, bezeichnet die Erhöhung der globalen Fehlerwahrscheinlichkeit 1. Art durch multiples Testen in derselben Stichprobe. Ein Fehler 1. Art liegt vor, wenn eine tatsächlich richtige Nullhypothese fälschlich abgelehnt wird. Werden auf einem Datensatz bei festem Signifikanzniveau immer mehr richtige Hypothesen geprüft, steigt die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eine von ihnen irrtümlich verworfen wird.

Wichtig ist die Unterscheidung zwischen dem lokalen α-Niveau, das nur einen einzelnen Test betrifft, und dem globalen α-Niveau für die gesamte Hypothesenfamilie. Verfahren zur Adjustierung verteilen oder verändern die lokalen Niveaus so, dass das gewünschte globale α-Niveau eingehalten wird.

Multiples Testen

Multiples Testen bedeutet die simultane Durchführung mehrerer statistischer Tests. In einer Studie werden häufig nicht nur eine Nullhypothese und eine Gegenhypothese untersucht, sondern mehrere Fragen mit denselben Daten beantwortet. Dazu können weitere Nullhypothesen, Konfidenzintervalle oder Schätzwerte gehören.

Beim einfachen Testproblem stehen einer Nullhypothese H₀ eine Gegenhypothese H₁ gegenüber. Beim multiplen Testen werden mehrere Nullhypothesen H₁, H₂, …, Hₖ mit zugehörigen Gegenhypothesen K₁, K₂, …, Kₖ untersucht. Dafür müssen die Begriffe des Fehlers 1. Art auf multiple Tests erweitert werden: Entscheidend ist dann insbesondere die multiple Fehlerwahrscheinlichkeit 1. Art, also die Wahrscheinlichkeit mindestens einer falschen Ablehnung. Außerdem sollen Hypothesenfamilie und Tests Konsistenzbedingungen wie Kohärenz, Konsonanz und Abgeschlossenheit erfüllen.

Wie der Alphafehler anwächst

Bei k unabhängigen Tests mit einfacher Nullhypothese sei für jeden Test das lokale Signifikanzniveau α_lokal ausgeschöpft. Sind alle Nullhypothesen wahr, beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eine Nullhypothese abgelehnt wird,

1 − (1 − α_lokal)^k.

Die Formel nutzt die Gegenwahrscheinlichkeit, dass keine Nullhypothese abgelehnt wird, sowie die Multiplikation von Wahrscheinlichkeiten bei stochastischer Unabhängigkeit. Mit wachsender Zahl k der Tests nimmt die multiple Fehlerwahrscheinlichkeit 1. Art zu; für k → ∞ nähert sie sich 1 an. Für α_lokal = 0.05 zeigt dies: Schon durch die Zahl unabhängiger Tests steigt die Wahrscheinlichkeit mindestens einer fälschlichen Ablehnung.

Wird bei der Bonferroni-Idee das globale Niveau α_global durch k geteilt, ergibt sich für unabhängige Tests das Alpha-Risiko 1 − (1 − α_global/k)^k.

Bonferroni und Bonferroni-Holm

Die Bonferroni-Korrektur ist die einfachste und konservativste Anpassung. Jeder der k Einzeltests wird mit α/k statt mit α durchgeführt:

P(Hᵢ wird abgelehnt, obwohl Hᵢ richtig ist) ≤ α/k für i = 1, …, k.

Nach der Bonferroni-Ungleichung gilt dann P(mindestens ein Hᵢ wird abgelehnt, obwohl alle Hᵢ richtig sind) ≤ α. Das globale Niveau α wird also kontrolliert. Nachteilig ist die hohe Strenge: Ein p-Wert muss sehr klein sein, um statistisch signifikant zu sein.

Die Bonferroni-Holm-Prozedur ist weniger konservativ. Zuerst wird α_global festgelegt, alle Einzeltests werden durchgeführt und ihre p-Werte aufsteigend sortiert. Dann werden die lokalen Niveaus berechnet: α₁ = α_global/k, α₂ = α_global/(k−1) und allgemein αᵢ = α_global/(k−i+1) für i = 1, …, k. Die sortierten p-Werte werden der Reihe nach mit diesen Niveaus verglichen. Sobald ein p-Wert größer als sein zugehöriges αᵢ ist, endet die Prozedur: Die vorherigen Nullhypothesen werden zurückgewiesen, diese und alle folgenden nicht. Nur der erste Test muss das strenge Bonferroni-Niveau erfüllen; danach werden die lokalen Niveaus größer. Logische und stochastische Abhängigkeiten zwischen Teststatistiken werden jedoch auch hier nicht genutzt.

Šidák und weitere Verfahren

Die Šidák-Korrektur ist anwendbar, wenn die Einzeltests stochastisch unabhängig sind. Sie kann außerdem verwendet werden, wenn die Teststatistiken insgesamt multivariat normalverteilt sind und die Ablehnbereiche symmetrisch zu den jeweiligen Erwartungswerten liegen. Für jeden Test wird festgelegt:

αᵢ = 1 − (1 − α_global)^(1/k) für i = 1, …, k.

Damit wird das globale Niveau α_global garantiert. Im Vergleich zur Bonferroni-Korrektur ist diese Anpassung genauer, sofern ihre Voraussetzungen erfüllt sind.

Weitere genannte Methoden zur Anpassung an ein globales α-Niveau sind die Tukey-T-Methode, die Dunnett-Prozedur und die Benjamini-Hochberg-Prozedur. Letztere dient dazu, die Falscherkennungsrate niedrig zu halten.