Logistisches Wachstum
mathepasst
https://www.youtube.com/watch?v=y2EAQKMtbtQ

Transkript (automatisch erstellt)

0:00 logistisches wachstum was ist eine logistische wachstums funktion was hat sie mit einer exponentiellen funktion zu tun und was musste über diese funktion
0:09 alles wissen wir fangen mit dem standard beispiel bakterien vermehren sich exponentiell ich wette das habt ihr schon zigmal gehört wo ihr das thema
0:18 exponential funktionen gemacht habt das heißt bakterien verdoppeln sich immer in der gleichen zeit so weit so gut das ist jetzt auch hier gar nicht großartig
0:27 anders aber wie schaut es denn in der realität aus bakterien können sich zum beispiel in einer petrischale vermehren auf einer nährlösung und diese
0:36 petrischale ist ja nicht unendlich groß sondern hat eine festgelegte größe wie zum beispiel 30 quadratzentimeter dh die bakterien können diese ganze fläche
0:47 besiedeln aber sobald sie an den rand stoßen wird ihr wachstum eingegrenzt und es gibt eine ganz natürliche obere schranke oder
0:54 auch eine sättigung swerts über die die bakterien nicht hinauswachsen können eine logistische wachstums funktion kombiniert ganz wunderbar dieses
1:03 exponentielle wachstum mit einer oberen schranke und wie das genau ausschaut das schauen uns jetzt an das funktionsmodell der logistischen wachstums funktion ist
1:13 ein bruch im zehner steht der sättigung wert es in unserem bakterien beispiel würde also hier die zahl 30 stehen den sättigung wert kann man im
1:22 funktionsmodell eigentlich gar nicht übersehen der nenner ist aufgebaut aus einsplus und dann kommt eine exponentielle abnahme funktion der
1:31 parameter b ist eine positive zahl und der parameter muss eine zahl zwischen null und eins sein weil dieser teil der funktion immer eine exponentielle
1:41 abnahme ist wir merken uns im funktionsmodell kommen drei parameter vor der sättigung wert es und die zwei parameter des exponentiellen teils der
1:51 funktion b und a natürlich könnte man den exponentiellen teil der funktion auch durch hoch lambda anschreiben und dann wäre der parameter
1:59 lambda eine negative zahl weil es sich eben um eine abnahme handelt genug theorie lasst uns rechnen bakterien in einer petrischale besiedeln
2:09 eine fläche von zwei quadratzentimetern nach einem tag hat sich die besiedelte fläche um 40 prozent vergrößert die petrischale hat eine größe von 30
2:18 quadratzentimetern wir setzen jetzt alle informationen nacheinander in das funktionsmodell 1 es gilt and von null ist gleich zwei
2:27 weil zum zeitpunkt gleich null die besiedelte fläche zwei quadratzentimeter groß ist wie vergrößern die zahl 42 prozent und erhalten die zahl 2,8 und
2:37 deshalb gilt n von einst ist gleich 2,8 jetzt nehmen wir die erste gleichungen von null ist gleich zwei und setzen alle zahlen in das funktionsmodell 1
2:47 es gilt zwei ist gleich 30 durch 1 + b x h hoch 02 ist der funktions wert 30 ist der sättigung wert und die zeit 0 habe ich eingesetzt jetzt wird aus hoch 0 1
3:02 und deswegen gilt zwei ist gleich 30 durch 1 + b und ihr seht ihr kommt jetzt nur noch der parameter bevor und wir formen die gleichung um und berechnen
3:12 uns das baby das machen wir indem wir mit dem nenner multiplizieren also gilt zweimal klammer auf einsplus b spec 30 dann dividieren wir noch durch
3:22 zwei subtrahieren die einst und schon steht da b ist gleich 14 durchatmen und weiter geht's wir setzen ihn gleich eins ist gleich 2,8 ins funktionsmodell ein
3:31 und wir setzen natürlich auch unseren parameter b gleich 14 zusätzlich ein und deswegen halten wir die gleichung 2,8 ist gleich 30 durch 1 + 14 mal hoch
3:43 1 und eben auch eins ist jetzt formen wir das ganze nach a um in dem wir wieder mal mit dem nenner multiplizieren wir dividieren durch 2,8 subtrahieren
3:54 die einst dividieren nochmal durch 14 und rechnen uns dann das aus und da kommt dann gerundet 0,69 raus und wir sind fertig wir haben alle drei
4:04 parameter ausgerechnet setzen die jetzt in das funktionsmodell 1 und so schaut der graf dieser logistischen wachstums funktion aus wir
4:12 erkennen der startwert liegt bei 2 und mit steigender zeit nähern sich die funktions werten weiter dem sättigung wert es an eine
4:20 logistische wachstums funktion hat immer einen wendepunkt bis zu diesem wendepunkt nimmt die steigung der funktion zu und ab dem wendepunkt nimmt
4:29 die steigen der funktion wieder ab interessant dabei ist dass der wendepunkt immer genau dort liegt wo die logistische funktion die hälfte des
4:37 sättigung swertz erreicht hat ihr könnt euch also die position des wendepunktes wunderbar konstruieren indem er einfach eine gerade bei der hälfte des sättigung
4:45 swertz in die grafik 1 zeichnet zum vergleich habe ich euch die exponential funktion hier blau eingezeichnet bei der die bakterien jeden tag um 40 prozent
4:55 wachsen jetzt schauen wir uns unser funktionsmodell noch einmal an und kontrollieren ob der staat wehrt wirklich 2 beträgt dafür setze ich für
5:02 tee gleich null in die funktion ein und aus 0,96 hoch 0 wird 1 und deswegen bleibt zum rechnen 30 durch 1 + 14 übrig und das ist natürlich 2 das gilt auch
5:16 ganz allgemein das heißt immer wenn ihr 0 in die funktion einsetzt bleibt zum rechnen es durch 1 + b übrig und das lässt sich natürlich relativ einfach
5:26 ausrechnen jetzt wollen wir noch die frage beantworten warum nähert sich denn jetzt diese komisch aussehenden logistische funktion dem sättigung wert
5:35 es an am graf der funktion können wir erkennen je größer die zeit desto stärker nähert sich der funktions wert dem sättigung wert es an
5:44 aber warum tut er das wir setzen jetzt für die zeit eine beliebige unendlich große zahl 1 wie soll denn das gehen wie soll ich
5:52 denn eine unendliche zahl der einsätze eben genau deshalb schreiben die mathematiker limes von tee gegen unendlich vor die funktion und sagen
6:02 damit stell dir einfach vor dass du eine sehr große zahl einsetzt und dann schauen wir was diese unendlich große zahl von themen mit der funktion macht
6:10 in diesem fall bewirkt eine unendlich große zeit dass der exponentielle teil im funktionsmodell unendlich klein wird weil dieser teil ja eine exponentielle
6:22 abnahme ist das schauen wir uns hier nochmal grafisch an der graf der exponentiellen abnahme funktion nähert sich mit größer werden
6:30 derzeit der x-achse an also nähern sich die funktions werte der zahlen 0 an beachte bitte dass eine exponential funktion niemals 0 werden kann sondern
6:39 sich nur unendlich nach der 0 nähert deswegen sagen wir dass der grenzwert einer exponentiellen abnahme funktion 0 ist zurück zu unserer logistischen
6:50 funktion wir wissen jetzt also dass der exponentielle teil für tee gegen unendlich verschwindend klein wird und was bleibt da noch übrig von der
6:59 funktion ja eben nur noch es durch 1 und es durch 1 ist nichts anderes als es also sagen wir der grenzwert der logistischen funktion ist der sättigung
7:10 wert es der grenzwert begrenzt also die funktions werte der logistischen funktionen die funktions werte können also niemals genau den grenzwert
7:20 erreichen oder schon gar nicht erst darüber hinaus wachsen an einer schule verbreitet sich ein gerücht dass drei schüler in die welt gesetzt haben
7:28 nach vier stunden wissen es schon die hälfte der schüler die schule hat insgesamt 240 schüler bevor wir jetzt die parameter im funktionsmodell
7:37 berechnen wollen wir uns hier eine kurze skizze machen der staat wehrt sind unsere drei schüler die sich das gerücht ausgedacht haben
7:44 nach vier stunden wissen es schon die hälfte der schüler also 120 schüler und deswegen verläuft die funktion durch den punkt 4 und 120 die schule hat insgesamt
7:55 240 schüler und deshalb muss der sättigung wert es gleich 240 betragen und jetzt können wir den funktions graf hier rein skizzieren wir sehen der punkt
8:06 4 und 120 ist nicht irgendein beliebiger punkt sondern ist genau der wendepunkt der funktion weil der wert 120 die hälfte des sättigung swerts ist wir
8:15 setzen uns an startwert n von null ist leicht 3 und den wendepunkten von 4 ist 120 und die sättigung menge in das funktionsmodell 1
8:25 wir starten mit dem startwert es gilt drei ist gleich 240 durch 1 + b x h hoch 08 01 und deswegen lösen wir die gleichung 3 ist gleich 240 durch 1 + b
8:38 wir multiplizieren mit dem nenner 1 + b dividieren jetzt drei subtrahieren 1 und erhalten b ist gleich 79 jetzt setzen wir den punkt 4
8:51 und 120 ins funktionsmodell ein und natürlich auch für unser b den berechneten wert 79 jetzt multiplizieren wir wieder mit dem nenner dividieren
9:01 dann im anschluss durch 120 subtrahieren 1 dividiert durch 79 und müssen jetzt noch die vierte wurzelziehen damit wir das aaa erhalten als also gleich die
9:13 vierte wurzel von 1 durch 79 und gerundet sind das dann 0,34 so fertig wir setzen unsere berechneten parameter ins funktionsmodell ein und schauen sie
9:24 funktionen hier nochmal an die höhe einer sonnenblume zurzeit tee kann durch folgende logistische wachstums funktionen beschrieben werden gibt den
9:32 sättigung wert an und erkläre seine bedeutung berechnen den startwert berechnet den zeitpunkt an dem die sonnenblume am schnellsten wächst gut
9:42 der sättigung wert ist 150 und das bedeutet die sonnenblume kann maximal 150 zentimeter hoch werden um den startwert zu berechnen setzen wie et
9:51 gleich null in das funktionsmodell 1 aus ehe hoch - 00800 wird 1 und deswegen bleibt nur noch zum rechnen 150 durch 1 +49 also 150 durch 50 übrig und das ist
10:06 drei der stadt wert beträgt also 3 cm jetzt wollen wir noch den zeitpunkt berechnen an dem die sonnenblume am schnellsten wächst und am schnellsten
10:14 wächst die sonnenblume dort wo die steigungen der logistischen funktion am stärksten ist und die steigung ist am stärksten am wendepunkt der funktion der
10:23 wendepunkt wird immer beide hälfte des sättigung swertz erreicht und deswegen müssen wir die gleichung 75 ist gleich 150 durch und so weiter erlösen um an
10:33 das thema heran zu kommen multiplizieren wir jetzt zuerst mal mit dem nenner dann dividieren wir durch 75 subtrahieren jetzt eins dann dividieren wir durch 49
10:46 und jetzt brauchen wir den natürlichen rhythmus ln und es steht da - 0 0 malte ist gleich allen von 1 durch 49 wenn ihr euch ein bisschen mit logo
10:55 rhytmus gesetzen auskennt dann wisst ihr dass allen von 1 durch 49 genau dasselbe ist wie ellen von 1 - innen von 49 allen von 1 wiederum ist immer nur weil jeder
11:08 logarithmisch von 10 ist und es bleibt auf der rechten seite - allen von 49 stehen jetzt dividieren wir noch durch minus 0,08 und es steht da tee ist
11:18 gleich en von 49 durch 0,08 die beiden negativen vorzeichen heben sich hier natürlich auf wir erhalten eine zeit von ungefähr 48,65 das heißt unsere
11:30 sonnenblume wächst am 49 tag am schnellsten und hier sehen wir das ganze jetzt nochmal in der grafik der startwert sind drei zentimeter
11:39 die maximale höhe der sonnenblume sind 150 cm jetzt zeichnen wir den graf der logistischen wachstums funktion genau so dass der wendepunkt bei der hälfte des
11:50 sättigung swertz liegt also bei 75 cm höhe und ja die lage vom wendepunkt ist tatsächlich komplett unabhängig vom staat wert und hat nur was mit dem
12:00 sättigung wert [Musik] jetzt haben
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