Gebrochen rationale Funktionen
mathemagazin
https://www.youtube.com/watch?v=qjtJAoGwgoA

Transkript (automatisch erstellt)

0:00 hi und herzlich willkommen im mathem Magazin Thema in diesem Video Eigenschaften von gebrochen rationalen Funktionen so oh scheiße das klingt
0:09 kompliziert was sind eigentlich gebrochen rationale Funktionen und was sind eigentlich davon die Eigenschaften das schauen wir uns jetzt Schritt für
0:17 Schritt an und zwar direkt an einem Beispiel wir machen also mit das einfachste Beispiel dass es gibt und zwar FX ist gleich zwei geteilt durch x
0:26 so warum ist das jetzt das einfachste Beispiel und warum ist das überhaupt eine gebrochen rationale Funktion gebrochen rationale Funktion müssen wir
0:36 zwei Bedingungen erfüllen die erste Bedingung ist wir können uns eigentlich schon oben rauslesen steht gebrochen in der Überschrift also wir brauchen einen
0:44 Bruch den haben wir hier zwei geteilt durch x passt Haken dahinter zweite Bedingung wir brauchen ein X im Nenner
0:57 das haben wir auch wenn wir jetzt eine Variable hier vorne t haben dann brauchen wir natürlich Themen also wir brauchen auf jeden Fall ums allgemein zu
1:06 sagen eine Variable im Nenner so und somit ist das hier somit die einfachste gebrochene rationale Funktion noch einfacher wäre vielleicht wenn ich
1:16 hier oben eine Einschreiben würde gehen wir mal eine Stufe weiter wir machen das Ganze ein bisschen komplizierter und zwar haben wir FX
1:25 = 4x geteilt durch 3 - x auch hier wieder beide Bedingungen prüfen erste Bedingungen hoch ja klar der ist da das sehen wir relativ leicht zweite
1:36 Bedingung auch nicht so kompliziert haben wir die Variable und einem Nenner ja wir haben hier unten ein X was wir jetzt aber noch zusätzlich haben hier
1:45 ist wir haben hier oben auch ein X in Zähler ist das jetzt ein Problem nein ist es nicht wichtig ist nur dass wir die Variable auf jeden Fall einmal im
1:54 Nenner haben was dann oben im Zähler steht das ist völlig egal da kann x Quadrat x hoch 10 stehen alles egal deswegen ist auch das hier eine
2:03 gebrochenrationale Funktion so wir gehen noch einen Schritt weiter und zwar hier unten zur grünen mit der Arbeit werden euch jetzt auch gleich wir haben hier FX
2:14 = 1 / x -1 und hinten noch mal plus 1,53 gehängt was ist jetzt der Unterschied hier wir haben hier hinten noch mal so ein
2:23 Anhängsel mit +1,5 auch hier ich glaube wir können schnell durchgehen Bruch ist da variable im Nenner ist da also Haken
2:33 dahinter das ist eine gebrochenrationale Funktion so was habe ich jetzt schon mal gemacht und zwar ich habe die hier hin skizziert jetzt denkt ihr euch
2:42 bestimmt auch zurecht wie zur Hölle kommt er da drauf und kann das Ding jetzt schon zeichnen
2:49 es gibt zwei Möglichkeiten wie ihr das auch könnt die erste Möglichkeit ist ihr nehmt euren Computer habt da irgendeine Mathematik Software drauf schreibt die
2:57 Funktion rein drückt auf = Enter und dann bekommt ihr das ganze Ding gezeichnet zweite Möglichkeit ist ihr passt jetzt auf und ich erkläre es euch
3:05 wir haben hier auch schon mal gestrichelte Linien einmal eine rote gestrichelte Linie und eine Orange gestrichelte Linie und ihr seht schon
3:15 irgendwie scheinen diese Linien irgendwelche Begrenzungen zu sein hier fährt die Funktion ziemlich nah von unten an die Linie heran an die Orange
3:25 hier fährt sie von oben an die orangene Linie heran und hier von links ran und hier von rechts ran aber was bedeuten diese rote und orangene Linie eigentlich
3:36 das schauen wir uns jetzt mal an und zwar haben wir das Thema Definitionslücke es ist also die Frage gibt es irgendeinen Wert für X den wir
3:45 nicht einsetzen dürfen bzw anders gesprochen bei dem wir dann keinen y-Wert rausbekommen und dazu muss man jetzt folgendes wissen
3:56 eine ganz ganz wichtige Regel wenn wir mit einem Bruch arbeiten dann darf unten im Nenner nie die Zahl 0 rauskommen zum Beispiel 1 geteilt durch 0 das
4:06 funktioniert einfach nicht gibt es auch mal ein Taschenrechner ein da wird der meckern und sagen hey Kumpel so nicht und deswegen habe ich das noch mal hier
4:14 aufgeschrieben nenne nie Null das ist so ein kleiner Merksatz nnn-0 das heißt jetzt also wir schauen uns an wann würde denn der Nenner 0
4:26 werden und diesen Wert müssen wir eben aus unserer Definitionsmenge das ist ja die Menge die wir einsetzen dürfen und zahlen für X da müssen wir die Zahl dann
4:36 ausnehmen also nehmen wir uns den Nenner ziehen ihn weg und Schreiben X-1 = 0 ich habe ein kleines Fragezeichen
4:45 darüber gemacht weil das will ich ja jetzt herausfinden wann würde das passieren +1 rechnen also einfach auflösen und
4:53 dann bekommen wir raus X ist gleich 1 das heißt also bei der Zahl x gleich 1 bekommen wir keinen y-Wert raus heißt ein bisschen
5:06 mathematisch gesprochen da ist die Funktion nicht definiert schauen wir mal x = 1 a und genau da geht jetzt diese rote gestrichelte Linie
5:18 durch ist ja auch klar wir haben uns sozusagen alle
5:26 y-Werte für x = 1 rausgestrichen also hier dürfen wir keinen Wert annehmen es kann also nicht sein dass unsere Funktion irgendwie hier durch geht weil
5:36 hier ist verbotene Zone so das gibt als ich jetzt hier diese erste gestrichelte Linie nach unten man nennt die auch senkrechte Asymptote
5:48 und das bringt uns jetzt gleich dazu zu orangenen Linie zu unserer waagerechten Asymptote was bedeutet die jetzt eigentlich naja wir sehen schon wir
5:58 gehen hier Richtung unendlich in die negativrichtung und hier Richtung unendlich in die positive Richtung und da
6:06 fahren wir so langsam diese orangene Linie an das heißt also wir betrachten jetzt was macht die Funktion wenn wir für X gegen Unendlich gehen und was
6:17 macht die Funktion wenn wir für X gegen minus unendlich gehen ganz einfach wie bekommt man das heraus naja man nimmt hohe Zahlen und setzt die
6:28 jeweils in die Funktion ein einmal plus 100 und einmal -100 habe ich jetzt genau ihr könnt auch plus eine Million und - eine Million nehmen das ist völlig egal
6:37 aber bei 100 glaube ich ist das schon sehr aussagekräftig was dann da im momentlichen jeweils passiert ich setze also hier die 101 jeweils und die minus
6:47 100 und was passiert jetzt schauen wir uns mal die Rechnung genau an wir haben hier eins geteilt durch 100 - 1 also 1
6:55 geteilt durch 99 und das wird ganz knapp über Null liegen habe ich ja schon ausgerechnet sich gerade 0,01 und wenn wir haben 1 geteilt
7:08 durch -100-1 sind wir bei 1 geteilt durch minus 101 und das wird ganz ganz knapp unter Null liegen also haben wir knapp
7:20 über Null und dann die plus 1,5 und knapp unter 0 und plus die 1,5 jetzt kann man das ganze noch ausrechnen wann bekommt dann hier
7:30 1,51 raus und hier kommt 1,491 heraus und jetzt sehen wir schon dass es beide sehr nah an dieser 1,5 dran wir haben
7:42 also hier irgendwo ganz hinten bei minus 100 den y-Wert 1,491 und hier ganz hinten haben wir den y-Wert 1,51 das passt auch weil hier
7:55 müssen wir leicht über diese 1,5 sein und hier müssen wir leicht unter dieser 1,5 sein um das jetzt ein bisschen auf die Spitze
8:04 zu treiben könnt ihr noch eine Million einsetzen und -1 Millionen zum Beispiel ihr werdet aber immer merken das hier eine ganz ganz kleine Zahl über
8:14 Null rauskommt und hier eine ganz ganz kleine Zahl unter 0 und somit das hier immer größer als 1,5 ist und das hier immer kleiner als 1,5 ist und somit kann
8:25 man jetzt auch sagen ich schreibe das noch mal hin wir haben also als Grenzwert y = 1,5
8:34 einmal von oben ran und einmal von unten dran und somit nimmt man das hier unsere waagerechte aus dem Tote und das bedeutet wo fährt unsere Funktion denn
8:45 im Unendlichen hin so das was zu diesem Themengebiet ich hoffe ich konnte dir weiterhelfen und jetzt viel Spaß beim Verstehen ciao