Extremwertaufgaben – Beispiel Fläche - Abitur
Mathe - simpleclub
https://www.youtube.com/watch?v=b7TBoX1x1t8

Transkript (automatisch erstellt)

0:00 das ist extrem das ist auch extrem und auch extrem da brauchen wir gar nicht erst von anfangen extrem wir heute auch bisschen unspektakulärer vielleicht
0:10 lasst euch [Musik] überraschen heute geht's um
0:18 Extremwertaufgaben oder auch Optimierungsaufgaben genannt was soll das sein machen wir einfach mal ein Beispiel wir werden jetzt alle mal
0:28 Schäfer und wir wollen ein neuen Zaun aufbauen für unsere Schafe Material reicht aber nur für 400 m Zaun wir wollen natürlich glückliche Schafe
0:37 deswegen unser Ziel die Schafe sollen möglichst viel Platz haben weil wir eh keine Kreise bauen können wollen wir ein rechteckiges Gebiet einzuen wie groß
0:47 müssen die Kantenlängen sein damit die 400 m Zaun möglichst viel Platz einschließen das Grundprinzip von so einer Aufgabe ist euch jetzt bestimmt
0:56 aufgefallen man kriegt eine Randbedingung vorgegeben im Beispiel das die 400 m Zaun und mit der Einschränkung will man dass was anderes möglichst groß
1:05 oder möglichst klein wird bei uns soll die Fläche der scharfsweide möglichst groß werden leider ist das hier ein mathevide das ganze wird also
1:17 ausgerechnet und zwar mit einer Funktion in unserem Beispiel ist die Funktion die Fläche von der Wiese die Fläche soll ja maximal sein
1:26 also wollen wir den höchsten Wert den Hochpunkt der Hochpunkt ist eine Extremstelle deswegen auch das extrem im Namen von Extremwertaufgaben weil genau
1:36 das will man bei den den höchsten oder den niedrigsten Wert von einer Funktion rausfinden wir wollen natürlich den Hochpunkt da wir ja die größte Fläche
1:44 wissen wollen übrigens es gibt nicht nur die Randbedingung sondern auch ganz wichtig nach was ist denn gefragt bei uns nach der Fläche von dem Rechteck das
1:54 wä die Hauptbedingung die Fläche von dem Rechteck soll maximal sein und wenn man es richtig macht dann kriegt man ja für die eine Formel raus die man gerade noch
2:02 umformen muss das wäre dann die zielformel okay was Extremwertaufgaben vom Prinzip sind habt ihr gecheckt aber wie geht man ran das zeigen wir euch in
2:12 unserem Beispiel das erste was gemacht werden muss was ist unsere Hauptbedingung korrekt wir wollen die maximale Fläche haben dazu müssen wir
2:22 aber noch wissen wie die Fläche aussieht unser Feld soll rechteckig sein also zwei Kantenlängen haben A und B wie berechnet man die Fläche von einem
2:32 Rechteck richtig a mal B damit ist der Flächeninhalt von dem Rechteck erstmal abhängig von zwei Variablen weil keine von beiden Kantenlängen kennt ihr unsere
2:42 Hauptbedingung heißt also die Fläche a von den variblen A und B = A* B und das soll möglichst groß werden leider haben wir noch eine Einschränkung das Material
2:54 von uns reicht nur für 400 m Zaun wir müssen also zweitens dann die Rand Bedingung aufstellen hier links noch mal die Skizze wie die Weide am Ende
3:03 aussieht wie könnte man die Bedingung mit den 400 m in eine Formel packen wo baut ihr denn den Zaun wenn ihr was einzäuen wollt richtig außenrum
3:13 natürlich heißt euer Zaun führt einmal komplett um das Rechteck rum wie hängt die Länge vom Zaun also von den Seitenlängen ab genau der Zaun ist
3:23 genauso lang wie der Umfang vom Rechteck der Umfang ist einfach A + B + A + B alle Seiten einfach zusammengerechnet und der Umfang hängt natürlich auch
3:34 wieder von beiden Variablen ab vereinfacht ist der Umfang 2 A + B und wir wissen der soll 400 m sein ist übrigens eure Entscheidung ob ihr lieber
3:45 mit oder ohne Einheiten rechnet man macht ohne Übung oftmal Fehler damit und wenn man damit klar kommmt ist besser als ohne zur Übung lassen wir die mal
3:55 weg und merken uns der Umfang und alle Strecken sind in met dann weiter geht's aber doof jetzt haben wir zwei Bedingungen
4:05 die Hauptbedingung A* B und die Nebenbedingung 2 x A + B = 400 trotzdem haben wir noch nullpl wie geht's weiter jetzt wird die Nebenbedingung nach einer
4:17 Variablen umgeformt warum die Hauptbedingung hängt von zwei Variablen a und B ab die wir beide nicht kennen die Nebenbedingung zwar auch aber da
4:27 wissen wir wenigstens was rauskommen soll bei uns 400 m als Umfang damit gibt's einen Zusammenhang zwischen beiden Variablen die eine hängt von der
4:36 anderen ab wenn wir also eine kennen kennen wir wegen der Randbedingung auch die andere perfekt unsere Nebenbedingung ist ja 2 x A + B = 400 nach welcher
4:47 variable wir auflösen ist fuppe könnt ihr euch aussuchen meistens nimmt man halt die Variable nach der es einfacher geht wir lösen den Umfang einfach mal
4:55 nach B auf kriegt ihr hin B ist 200- a toll geil Wu und jetzt jetzt wird die Variable in die Hauptbedingung eingesetzt unsere
5:07 Hauptbedingung war ja A* B und gerade haben wir über die Nebenbedingung rausgekriegt B = 200- a dieses B setzen wir jetzt in die Hauptbedingung ein
5:19 statt B setzen wir jetzt also 200- a ein vereinfacht ist das -a² + 200A jetzt hängt übrigens die Fläche auch nur noch von a ab das was wir jetzt
5:31 haben ist die Zielfunktion mit der können wir jetzt arbeiten Schritt 5 wir wollen jetzt die Extremstelle der Zielfunktion haben wollen ja schließlich
5:40 die maximale Fläche also den Hochpunkt unsere Zielfunktion haben wir gerade bestimmt das war -a² + 200A davon wollen wir den Hochpunkt wie kriegt man den
5:52 noch mal raus richtig Ableitung g=ich 0 setzen und dann nach der Variablen umform also machen wir erst mal die Ableitung der Zielfunktion die ist -2a +
6:03 200 und das soll jetzt 0 sein also erstmal die 200 auf die andere Seite und rauskommt a = 100 das setzen wir noch in die zweite
6:14 Ableitung ein um zu überprüfen ob bei A = 100 wirklich ein Hochpunkt ist ja passt was negatives in der zweiten Ableitung bedeutet Hochpunkt wenn euch
6:24 das gerade alles zu schnell ging drückt Pause und macht selbst auf einem Blatt Tatsache wenn wir unseren Zaun an der einen Kante 100 m lang machen dann
6:33 haben wir die größte Fläche eingeschlossen formal kommt noch der letzte Schritt die restlichen Größen ausrechnen wir haben gerade ja nur die
6:42 eine Seite a ausgerechnet wie groß ist dann die zweite Seite B ganz einfach aus Schritt 3 wissen wir B = 200- a also ist B auch 100 die maximale Fläche kriegen
6:56 wir also wenn wir die Weide quadratisch ein en wer jetzt noch Bock hat kann ausrechnen wie groß die letztendlich maximale Fläche ist könntst ja mal in
7:06 die Comments schreiben wie viel Quadratmeter unsere Schäfchen mit 400 m Zaun am Ende maximal haben können jo das war unser erstes Beispiel zu
7:15 Extremwertaufgaben wenn ihr da noch paar Beispiele wollt schreibt mal in die Comments # ja ich will oder # ichmagschafe wenn ihr mehr Schafe mögt
7:23 übrigens wenn ihr mehr Schafe mögt könnt ihr die auch Klonen glaubt ihr nicht überzeugt euch selbst hier rechts lasst dann unbedingt auch ein Abo auf unserem
7:30 biokanal da haut rein und macht's gut bis dann und ciao