Geometrische REIHE Grenzwert bestimmen – Indexverschiebung, Konvergenz von Reihen, Beispiel
MathemaTrick
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Transkript (automatisch erstellt)

0:00 hey ich bin susanne und ich möchte heute aufgaben mit euch durchgehend bei denen wir den grenzwert von geometrischen reihen aus rechnen sein
0:08 hier vorne die formeln gehen wir gleich noch durch ich zeige euch schon mal die aufgaben die auf uns zukommen hier so eine basic einstiegs aufgabe bisschen
0:15 schwieriger noch ein bisschen schwieriger und noch eine mit einer index verschiebung aber das sehen wir gleich hier vorne steht jetzt erst mal
0:23 die formel wenn wir eine geometrische reihe haben die so in der form aussieht also sowas wie ein halb hoch k in der reihe oder zwei hochkarätern kann man
0:36 den wert dieser reihe ausrechnen mit der formel hier aber nur dann wenn diese zahl hier drin dieses kuh wenn das betragsmäßig kleiner als eins ist also
0:48 ein halb ist er kleiner als eins dann gilt diese formel 2 ist nicht kleiner als 1 wegen will die formel 1 nicht gelten die geometrische reihe
0:58 konvergiert nur dann wenn die zahl hier eben kleiner als 1 ansonsten wenn sie größer sein dass die welt sie so dann gehen wir jetzt mal an die aufgaben
1:09 damit kann hier rechts steht die formel wieder die ganze zeit für uns wir versuchen diese reihe jetzt in diese kuh hochkar form zu bringen also eine zahl
1:19 hoch wie die hier nämlich momentan noch steht ist das ja direkt schon mal das zum zeichen versaut das klappt mal und es glaub mal nicht gleich null bis
1:30 unendlich hier steht momentan 1 durch drei hoch karte nicht eine zahl hoch kann das müssen aber hinkriegen
1:40 und das kriegen wir auch hin denn zum beispiel die einst kann man ja auch als einst hoch k schreiben und dann kann man diese 1 durch drei zusammenbringen und
1:50 das ganze dann hochkar schreiben und genau das ist ja das was wir wollten wir brauchen eine zahl hoch k jetzt in dem fall und das haben wir jetzt und da
2:00 diese zahl hier drin kleiner als eins ist dürfen wir diese formel benutzen 1 durch 1 - das q und das kuh ist ein drittel bei uns und wenn ihr das aus
2:15 rechnet kommt man auf drei halbe ganz wichtig nach schaut euch immer auch eure grenzen heran hier steht karl gleich null ist
2:25 unendlich und dieses jahr gleich null ist auch so eine formel wenn dakar gleich eins steht da muss man doch mal ein bisschen was anderes machen
2:35 das sehen aber gleich nach ok gehen wir zum zweiten beispiel fünf hoch - es ist jetzt keine standard geometrische reihe in der form wie sie da steht denn da
2:47 darf er nur hoch entstehen eine zahl hoch hier steht momentan noch hoch - n wie kriegen wir das minus lag diesmal heißt unser index auch n und nicht mehr
2:58 kam aber egal wie der heißt fünf hoch - in können wir umschreiben das ist eine negative hoch zahl wenn wir die weg machen wollen dürfen wir es tun
3:09 indem wir 1 durch und jetzt schreiben wir das teil nur noch mit der positiven hochsal in fünf wochen das ist eher die regel wie man negative
3:20 buch sei neben umschreiben kann so einem bruch und das hat ein leben schon das ist nämlich jetzt sehr ähnlich aus wie eine geometrische reihe noch nicht ganz
3:30 aber wir wissen wir können hier dieses hoch n dazu machen und daraus eben ein fünftel hoch n machen und jetzt startet unsere reihe bei null so wie hier
3:42 dieses hier drin ist kleiner als 1 deswegen dürfen wir diese summe ausrechnen oder diese reihe ausrechnen mit der formel 1 durch 1 - und für das
3:55 kku setzen wir hier jetzt ein fünftel ein und wenn wir das hier ausrechnen kommt man auf 5 viertel also immer eure reihe
4:03 anpassen bis sie tatsächlich die form einer geometrischen reihe hat schauen wir mal wie wird es hier hinkriegen der index ist statisch bei null das ist
4:16 schon mal okay das passt mit unserer geometrischen reihe aber hier steht noch sehr viel zeug hoch steht
4:23 hier oben und hier unten steht hoch die plus1 also noch dürfen wir die sachen nicht zusammenfassen lassen wir die - zweimal oben stehen und was können wir
4:32 unten machen wir hätten gern nur hoch damit wir das mit dem oberen auch zusammenfassen können diese hoch zahl hier können wir
4:42 auseinander ziehen die ist mit einem plus verbunden bedeutet für uns laut impotenz gesetz dass man die auseinanderziehen darf man darf hier
4:49 drei hoch draus machen mal drei hoch 1 so ist ja dass potenz gesetz ok jetzt haben wir dieses hoch wie schon mal diese drei hier also 31 kann man ja auch
5:05 einfach als drei schreiben diese drei oder ein rätsel was wir hier haben die können wir mal einzeln schreiben also diese ein drittel sich
5:17 mal hier aus dem bruch vorne und machen eigenen bruch und die - zwei hoch und die drei hoch die schreibe ich hier dann hinten hin
5:29 und jetzt ist es schon sehr ähnlich zu dem was wir eben hatten wenn ein teil ein faktor gar nicht von ihm abhängt also dieses ein drittel dann
5:38 darf ich den auch vor die summe schreiben der hat ja gar nichts mit dem ihm in diesem index ihr zu tun den kann ich aus der summe rausziehen
5:45 also ein drittel mal und dann die summe schreiben und den teil hier kann ich jetzt zu - zwei drittel zusammenfassen und dann insgesamt hoch und jetzt habe
6:00 ich hier meine geometrische reihe gebastelt die ein drittel bleibt vorne dran stehen die hat er jetzt erstmal mit der summe nichts zu tun und diese reihe
6:09 hier kann ich mit der formel umschreiben zu eins durch 1 - und mein co betragsmäßig ist es kleiner als eins immer noch kurz mal prüfen ob das alles
6:22 so passt das kommt dann hier hinten dran also - zwei drittel und das kann man dann ausrechnen und da
6:30 kommt insgesamt dann ein fünftel raus also auch hier ist es eine geometrische reihe sieht man auch anfangen man nicht aber ein bisschen umformen und dann kann
6:42 man das eben sehen dann kommen wir nun zur letzten und schwierigsten aufgabe es sieht schon sehr ähnlich nach der geometrischen reihe aus aber was ist
6:52 hier jetzt los erstens mal haben wir hier kam - zwei drin also die hochsal heißt nicht gar so wie wir es bräuchten und unser index startet bei k gleich
7:03 vier er muss bei uns aber bei k gleich null starten kümmern wir uns erst mal darum dass hier nicht kam - zwei steht sondern hoch k
7:11 wie schaffen wir das schreibst man direkt hin also hoch karten nur noch das wollen wir stehen haben und es können wir auch machen indem wir eine index
7:20 verschiebung machen also hier diesen index oben hat es zwar immer noch bis unendlich aber hier unten können wir das verschieben so zu sagen wir wollen hier
7:29 zwei dazurechnen also kam - zwei wollen wir +2 dazu rechnen damit er nur noch steht wenn wir also +2 in unserer summe
7:42 rechnen dann müssen wir - zwei außerhalb von unserer summe rechnen gleich zwei ab da würde unsere summe dann starten
7:53 also wir haben hier drin +2 gerechnet sozusagen um das aufzuheben dann damit wir den wert der summe nicht ändern müssen wir auch außerhalb der
8:03 summe zweier untergehen so kann man diesen index eben verschieben wir haben jetzt noch gar nichts abgeändert einfach nur dass dieses kam - zwei nicht mehr da
8:12 ist haben wir geschrieben dafür aber wie gesagt hier den index verringert und jetzt sehen wir dass das schon wieder genau die struktur hat die wir eben
8:23 hatten dass sie daraus eben ein drittel hoch k schreiben können jetzt sind wir aber noch nicht fertig denn unser index startet bei 2 und das
8:33 geht noch nicht der muss er bei null starten damit und wir unsere formel hier anwenden können wenn wir den jetzt aber bei null starten lassen machen wir das
8:46 mal dass wir das so rein schreiben so der start bei null jetzt haben wir aber summen glieder hinzugefügt die müssen wir wieder
8:54 abziehen also wir müssen jetzt zwei summen glieder abziehen und zwar den für null also ein drittel hoch 0 müssen wir noch
9:02 mal abziehen weil wir dürfen ja nicht einfach dazu hinzufügen und den für 1 müssen wir absehen das würde bedeuten ein drittel hoch 1 müssen wir auch noch
9:10 mal abziehen damit wir wollten ja eigentlich nur diese summe hier berechnen und jetzt haben wir sie einmal das wäre
9:17 die geometrische reihe hier anwenden können das wäre 1 durch ein drittel und die anderen teile die müssen wir einfach noch abziehen ein drittel hoch 0 ist
9:28 eins also irgendwas hoch nummer eins und hier hinten noch dieses - ein drittel und wenn ihr das dann aus rechnet kommt man insgesamt auf ein sechster also kann
9:37 echt einiges vorkommen dass man tatsächlich diese formel hier anwenden kann aber das sind so die gängigen sachen die vorkommen können dann hoffe
9:45 ich dass es euch geholfen hat falls ihr fragen habt meldet euch gerne in den kommentaren