Kugel - Volumen - Oberfläche - Herleitung der Formeln - www.mathe-video.com - Tobias Gnad
Mathehilfen
https://www.youtube.com/watch?v=EBdPcRfXru0

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0:00 willkommen auf der Internetseite mathevide.com wir befassen uns mit der Kugel und mit dem Volumen und der Oberfläche die Herleitung der Formeln
0:12 dieses Video und viele weitere kostenlose Lernmöglichkeiten gibt's auf mattevidecom zum Volumen der Kugel wir haben hier z.B einen Kegel im Zylinder
0:24 hier und auch da dargestellt hier ist ein Zylinder auch hier dar stellt und eine Halbkugel auch hier dargestellt alle diese Körper haben die Höhe h = r
0:38 und auch den gleichen Radius r also hier ist die Höhe gleich und auch dieser Radius ist gleich bei all diesen Körpern dann gilt für den Kegel im
0:48 Zylinder als Volumen 1 dritt x R hoch 3 x PI warum gerade R hoch 3 eigentlich hätten wir ja ein dritt mal r² mal Pi mal H h ist aber wiederum gleich R daher
1:02 kommen wir zu dem R hoch 3 das gleiche gilt jetzt beim R hoch 3 auch beim Zylinder V = R hoch 3*
1:13 PI das Volumen für die Halbkugel kennen wir eben noch nicht jetzt passiert folgendes Wasser wird vom Zylinder in den Kegel und dann
1:23 in den Halbkreis geschüttet also hier ist jetzt Wasser drin und hier vom Zylinder aus wird Wasser in den Kegel geschüttet was passiert hier ist das
1:37 Wasser drin und hier fehlt ein Drittel zwei Drittel bleiben dieser Rest wird jetzt in die Halbkugel
1:48 geschüttet was passiert die Halbkugel ist voll mit Wasser und im Zylinder ist kein Wasser mehr vorhanden was bedeutet das jetzt für das
1:58 Volumen der ugel das Volumen der Halbkugel ist jetzt gerade das Volumen des Zylinders minus das Volumen des Kegels also gerad dieses
2:10 Wasser was hier in der Halbkugel ist ist das was zuerst im Zylinder war und ein Drittel ist ja dann abgezwackt worden ist dann im Kegel und
2:20 genau dieser Rest hat gereicht um die Halbkugel zu füllen setzen wir jetzt also die Formeln ein Volumen des Zylinders war R hoch 3 x PI
2:32 das Volumen des Kegels ein dr R hoch 3 x PI es bleibt also für die Halbkugel 2 dr x R hoch 3 x PI übrig das stimmt auch mit der Anschauung
2:47 überein wir haben gesehen 2 dritt hier im Zylinder hat gerade gereicht um die halkugel zu füllen wir haben aber jetzt hier erst
2:56 die Halbkugel berechnet natürlich wollen wir die Kugel bestimmen Hal Kugel eben mal 2 und somit kommen wir zu 43 x R hoch 3 x
3:08 PI jetzt geht's weiter mit der Oberfläche der Kugel wir haben hier einen Körper der setzt sich zusammen hier hab es mal beispielhaft hier
3:17 dargestellt aus lauter einzelnen Zylindern lauter einzelnen Pyramiden lauter Pyramiden hier hier ist z.B die Grundfläche G1 das könnte ich jetzt
3:28 weiter zeichnen lauter einzelne Pyramiden auch hier eine andere Grundfläche auch eine Pyramide wenn ich jetzt hier nicht nur
3:38 vielleicht 50 einzelne Pyramiden hätte sondern 100.000 dann wird sich das immer mehr einer Kugel angleichen die Grundflächen werden immer kleiner und es
3:49 sieht immer mehr so aus wie eine Kugel so und jetzt schauen wir uns das Volumen aller dieser Pyramiden an diese en sich ja zusammen also eine Pyramide
4:02 hätte ja hier ein Drittel mal Grundfläche mal Radius wenn ich jetzt dann unendlich viele hätte würde ich das immer weiter addieren können und hier so
4:15 darstellen lauter Summen von den einzelnen Pyramiden jetzt kann ich hier ein Drittel mal R
4:24 ausklammern das bewirkt dass ein dritt mal R mal eben die ganzen Grundflächen hier multipliziert werden das sind hier also die ganzen Grundflächen und die
4:36 Grundflächen der Pyramiden entspricht natürlich genau wiederum der Oberfläche der Kugel mal ein dritt mal
4:46 R also da sind wir stehenblieben das Volumen aller Pyramiden ist eigentlich auch ein Drittel mal R mal der Oberfläche der
4:56 Kugel das Volumen der Kugel K wir schon hatten wir vorher gezeigt mit 43 x R hoch 3 x PI und jetzt können wir das Volumen
5:08 aller Pyramiden also hier das ein Drittel mal R mal die Oberfläche der Kugel das war das Volumen aller Pyramiden
5:19 gleichsetzen mit der Oberfläche der Kugel also hier 43 x R hoch 3 x PI jetzt multipliziere ich mit 3 auf beiden Seiten eine Äquivalenzumformung führt
5:35 hier zu dieser Gleichung ich teile im nächsten Schritt durch 3 und es bleibt übrig dass die
5:43 Oberfläche der Kugel gleich ist mit 4 x R hoch 2* PI das war's ich wünsche viel Erfolg beim weiteren lernen auf matthevide.com