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Was ist eine MATRIX? Bedeutung + Rechengesetze + Beispiele
Das Wichtigste aus dem Video
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Transkriptautomatisch erstellt · 58 Zeilen
- eine Matrix besteht im Allgemeinen einfach nur aus mehreren Vektoren diese Matrix z.B besteht aus den drei Spaltenvektoren 23 -15 und 01 oder eben
- aus den beiden Zeilenvektoren 2- 100 351 je nachdem wie du es gerne betrachten willst matrizzen sind vor allem dann sinnvoll wenn du Daten mit zwei
- Merkmalen erfassen willst z.B die Anzahl der Jungen und Mädchen einer ersten zweiten dritten und vierten Klasse einer Schule das heißt an dieser Matrix
- könntest du beispielsweise ablesen dass in der Klasse 3 gerade 14 Mädchen und neun Jungen sind wie genau der Aufbau einer Matrix ist wie man Matrizen adiert
- subtrahiert multipliziert und transponiert und was das eigentlich alles zu bedeuten hat das schauen wir uns jetzt
- [Musik] an diese Matrix hat z.B die Dimension 2 x 3 denn sie hat zwei Zeilen und drei Spalten wichtig ist immer zuerst die
- Anzahl der Zeilen nennen das ist ganz wichtig und die einzelnen Elemente der Matrix haben auch eine bestimmte Bezeichnung und zwar steht
- beispielsweise die -4 an der Stelle A12 das bedeutet das ist ein Element der Matrix A es steht in Zeile 1 und Spalte 2 ja wie wir gesagt haben immer zuerst
- die Zeilen übrigens wenn eine Matrix genauso viele Zeilen wie Spalten hat dann nennt man sie auch quadratische Matrix die Addition und Subtraktion von
- Matrizen funktioniert ganz intuitiv deswegen machen wir nur ein Beispiel dazu wichtig ist dass die Dimensionen perfekt übereinstimmen müssen ja hier
- würde es funktionieren da das hier eine 2 x 2 Matrix ist und das hier eben auch und du musst drauf achten dass die Anzahl der Zeilen übereinstimmt und die
- Anzahl der Spalten übereinstimmt ja das bedeutet du hättest auch eine 2 Kreuz 3 und eine andere Z Kreuz 3 Matrix addieren können so ganz intuitiv wir
- machen es elementweise 4 + 1 sind 5 1 + 0 1 -2 + 2 0 3 + -1 also 3 - 1 wird zu 2 die Skalare Multiplikation funktioniert
- genauso intuitiv du kannst einfach nur die konstante Zahl die davor multipliziert wird in diese Matrix rein multiplizieren und zwar mit jedem
- einzelnen Eintrag die Dimension der Matrix bleibt dabei einfach erhalten na klar wenn du aber eine konstante Zahl reinziehen darfst heißt das ja im
- Umkehrschluss auch dass du konstante Zahlen rausziehen darfst das heißt ausklammern kannst das bedeutet aus dieser vorderen Matrix hätte man z.B die
- Zahl 2 ausklammern können hier könnte man beispielsweise auch die zwei oder direkt die vier ausklammern über würde bleiben 1- 1 2 3 und dieses ausklammern
- kann in vielen Aufgaben einen entscheidenden Vorteil haben die Multiplikation von matrizzen ist hingegen nicht ganz so intuitiv denn
- hier musst du ganz genau auf die Dimension aufpassen unsere erste Matrix hat die Dimension von 2* 3 sie hat zwei Zeilen und drei Spalten und unsere
- zweite Matrix hat die Dimension 3 x 2 denn sie hat drei Zeilen und zwei Spalten wichtig ist dass die Anzahl der Spalten der ersten Matrix genau
- übereinstimmen müssen mit der Anzahl der Zeilen der zweiten Matrix Matrix ja denn das was wir gleich berechnen werden skalarprodukte sein und die sind per
- Definition immer Zeile mal Spalte das heißt diese beiden Zahlen müssen übereinstimmen und das Schöne ist wenn du da genau drauf achtest dass diese
- beiden Zahlen übereinstimmen dann wird das Endergebnis dieser Multiplikation eine Z Kreuz Z Matrix sein das Endergebnis hiervon hat genau zwei
- Zeilen und zwei Spalten so ein matrixprodukt kannst du jetzt am einfachsten mit dem falschen Schema ausrechnen dieses falsche Schema ist so
- eine optische Unterstützung damit du auch nicht in den Zeilen und Spalten verrutscht das heißt ich empfehle dir dass du dir so eine kleine Tabelle
- aufzeichnest bei der du auf die linke Seite deine erstgenannte Matrix schreibst ja auch wirklich eins zu ein abschreiben wie sie ist in Zeilen und
- Spalten und hier oben deine zweitgenannte Matrix in dem Fall 101 als erste Spalte und 4 2-1 als zweite Spalte das schöne ist hier wo sich Zeilen und
- Spalten übertreffen da wird jeweils ein neuer Wert entstehen und zwar hier hier hier und hier na da siehst du schon das Endergebnis wird nämlich zwei Zeilen und
- zwei Spalten haben so wie wir es gerade gesagt haben und um diese vier Positionen auszurechnen musst du nur skalarprodukte machen das heißt 1 x 1 +
- -2 x 0 + 3 x 1 ja genau da wo sich Zeile und Spalte übertreffen dieser Wert kommt dabei raus also 1 0 3 1 + 0 + 3 sind wir bei 4 geht's weiter hier mit diesem Wert
- 1 x 4 sind 4 das sind -4 und das sind -3 ja zusammen addiert -3 0 x 1 0 1* 0 0 und die beiden multipliziert ergeben -1 und dann haben
- wir hier 0 2 1 addiert sind es 3 das heißt unser Ergebnis ist die Matrix 4- 3 - 1 3 und wie wir gesagt haben eine 2 kuz2 Matrix das zeigt im übrigen auch
- dass die matrixmultiplikation nicht kommutativ ist sagt man das heißt dass du nicht A* b = b mal a schreiben darfst na klar bei reellen Zahlen funktioniert
- ja 5 x 6 ist dasselbe wie 6 x 5 aber A* B ist nicht dasselbe wie B mal a okay alleine nur von den Dimensionen hätte das gar nicht funktioniert ja wenn du
- diese Matrix mal diese Matrix rechnest vertausch die mal da wirst du sehen kommt am Ende eine 3 kuz 3 Matrix raus ist ja was anderes als hier aber selbst
- wenn die Dimensionen überbereinstimmen würden muss das Ergebnis nicht stimmen okay es gibt matrizzen bei denen es komm ist wo du das Vertauschen kannst aber im
- allgemeinen Fall nicht das bedeutet im übrigen auch wenn die Anzahl der Spalten der ersten Matrix und die Anzahl der Zeilen der zweiten Matrix nicht
- übereinstimmen dann kann man so nicht multiplizieren was aber immer geht beispielsweise ist das Transponieren eine Matrix zu transponieren heißt
- einfach nur Ihre Zeilen und Spalten zu vertauschen wir machen das mal in dem Beispiel hier oben die Matrix A zu transponieren geht ganz einfach das was
- eben noch die erste Zeile war wird jetzt die erste Spalte und das was eben noch die zweite Zeile war das wird einfach zur zweiten
- Spalte und da sehen wir dass sich die Dimension genau gedreht hat eben was noch eine Z Kreuz 3 Matrix und jetzt haben wir eine 3 Kreuz 2 Matrix passiert
- eben durchs transponieren und dieses matrixelement diese Zahl -4 die eben noch an der Stelle 12 2 stand die steht jetzt einfach an der Stelle 21 ja auch
- wie hier haben wir gerade gesagt vertauschen sich Zeilen und Spalten mehr passiert beim transponieren nicht fassen wir mal zusammen was wir bisher
- rausgefunden haben wir dürfen Matritzen transponieren also Ihre Zeilen und Spalten vertauschen wir dürfen Sie addieren subtrahieren und multiplizieren
- wenn die Dimensionen übereinstimmen und jetzt ist die Frage dürfen wir Sie auch durcheinander dividieren ja dann hätten wir nämlich alle grundrechenoperation
- zusammen nur leider dürfen wir matriitzen nicht durcheinander dividieren so ein rechengesetz gibt es nicht was manchmal klappt ist an statt
- zu dividieren mit dem inversen einer Matrix zu multiplizieren okay aber was das inverse einer Matrix ist wie man die berechnet und unter welchen
- Voraussetzungen so ein inverse überhaupt existiert das schauen wir uns einfach in einem der nächsten Videos an jetzt an dieser Stelle machen wir das nicht zu
- guter Letzt schauen wir uns noch ein paar wichtige Rechengesetze an die immer mal wieder auftreten z.B ist die transponierte der Summe gleich die Summe
- der transponierten ich denke das hättest du intuitiv auch richtig gemacht die transponierte der transponierten na ja also wenn man zahen und Spalten tauscht
- und noch mal zahlen und Spalten wieder zurücktauscht kommt natürlich die ursprüngliche Matrix bei raus ich denke das ist auch kein Wunder nur hier bei
- der letzten da musst du gut aufpassen a mal B transponiert ist gleich also wenn man das transponiertzeichen reinzieht B transponiert mal a transponiert das
- heißt die Reihenfolge vertauscht sich wenn du das Produkt transponierst warum das so ist das kannst Du gerne mal selber überlegen spul ruhig noch mal
- zurück und schau dir noch mal den Teil an wo wir über Matrix Multiplikation gered haben und was es bedeutet zu transponieren und ich denke du wirst dir
- selber erklären können warum das so ist schreibst mir doch gerne mal in die Kommentare ich bin mal gespannt wie gut du aufgepasst hast das war's auch schon
- wieder mit den Grundlagen zur matrixrechnung Schau gerne mal den nächsten Videos vorbei wenn es dich interessiert wie genau man eine Matrix
- invertiert falls man sie denn invertieren kann und was es eigentlich bedeutet in jedem Fall wünsche ich dir noch einen schönen Tag und wir sehen uns
- beim nächsten Video ciao
Zum Nachlesen
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Matrix (Mathematik)In der Mathematik versteht man unter einer Matrix (Plural Matrizen) eine rechteckig angeordnete Tabelle von sogenannten Elementen.
Matrix-Vektor-ProduktDas Matrix-Vektor-Produkt kann als Spezialfall einer Matrizenmultiplikation angesehen werden, bei der die zweite Matrix aus nur einer Spalte besteht.
MatrizenadditionDie Matrizenaddition oder Matrixaddition ist in der Mathematik eine additive Verknüpfung zweier Matrizen gleicher Größe. Das Ergebnis einer Matrizenaddition …