Was ist eine MATRIX? Bedeutung + Rechengesetze + Beispiele
MathePeter
https://www.youtube.com/watch?v=3gMJ3fd-h88

Transkript (automatisch erstellt)

0:00 eine Matrix besteht im Allgemeinen einfach nur aus mehreren Vektoren diese Matrix z.B besteht aus den drei Spaltenvektoren 23 -15 und 01 oder eben
0:09 aus den beiden Zeilenvektoren 2- 100 351 je nachdem wie du es gerne betrachten willst matrizzen sind vor allem dann sinnvoll wenn du Daten mit zwei
0:17 Merkmalen erfassen willst z.B die Anzahl der Jungen und Mädchen einer ersten zweiten dritten und vierten Klasse einer Schule das heißt an dieser Matrix
0:24 könntest du beispielsweise ablesen dass in der Klasse 3 gerade 14 Mädchen und neun Jungen sind wie genau der Aufbau einer Matrix ist wie man Matrizen adiert
0:33 subtrahiert multipliziert und transponiert und was das eigentlich alles zu bedeuten hat das schauen wir uns jetzt
0:40 [Musik] an diese Matrix hat z.B die Dimension 2 x 3 denn sie hat zwei Zeilen und drei Spalten wichtig ist immer zuerst die
0:51 Anzahl der Zeilen nennen das ist ganz wichtig und die einzelnen Elemente der Matrix haben auch eine bestimmte Bezeichnung und zwar steht
0:57 beispielsweise die -4 an der Stelle A12 das bedeutet das ist ein Element der Matrix A es steht in Zeile 1 und Spalte 2 ja wie wir gesagt haben immer zuerst
1:08 die Zeilen übrigens wenn eine Matrix genauso viele Zeilen wie Spalten hat dann nennt man sie auch quadratische Matrix die Addition und Subtraktion von
1:15 Matrizen funktioniert ganz intuitiv deswegen machen wir nur ein Beispiel dazu wichtig ist dass die Dimensionen perfekt übereinstimmen müssen ja hier
1:22 würde es funktionieren da das hier eine 2 x 2 Matrix ist und das hier eben auch und du musst drauf achten dass die Anzahl der Zeilen übereinstimmt und die
1:32 Anzahl der Spalten übereinstimmt ja das bedeutet du hättest auch eine 2 Kreuz 3 und eine andere Z Kreuz 3 Matrix addieren können so ganz intuitiv wir
1:40 machen es elementweise 4 + 1 sind 5 1 + 0 1 -2 + 2 0 3 + -1 also 3 - 1 wird zu 2 die Skalare Multiplikation funktioniert
1:55 genauso intuitiv du kannst einfach nur die konstante Zahl die davor multipliziert wird in diese Matrix rein multiplizieren und zwar mit jedem
2:02 einzelnen Eintrag die Dimension der Matrix bleibt dabei einfach erhalten na klar wenn du aber eine konstante Zahl reinziehen darfst heißt das ja im
2:12 Umkehrschluss auch dass du konstante Zahlen rausziehen darfst das heißt ausklammern kannst das bedeutet aus dieser vorderen Matrix hätte man z.B die
2:19 Zahl 2 ausklammern können hier könnte man beispielsweise auch die zwei oder direkt die vier ausklammern über würde bleiben 1- 1 2 3 und dieses ausklammern
2:29 kann in vielen Aufgaben einen entscheidenden Vorteil haben die Multiplikation von matrizzen ist hingegen nicht ganz so intuitiv denn
2:36 hier musst du ganz genau auf die Dimension aufpassen unsere erste Matrix hat die Dimension von 2* 3 sie hat zwei Zeilen und drei Spalten und unsere
2:46 zweite Matrix hat die Dimension 3 x 2 denn sie hat drei Zeilen und zwei Spalten wichtig ist dass die Anzahl der Spalten der ersten Matrix genau
2:55 übereinstimmen müssen mit der Anzahl der Zeilen der zweiten Matrix Matrix ja denn das was wir gleich berechnen werden skalarprodukte sein und die sind per
3:04 Definition immer Zeile mal Spalte das heißt diese beiden Zahlen müssen übereinstimmen und das Schöne ist wenn du da genau drauf achtest dass diese
3:11 beiden Zahlen übereinstimmen dann wird das Endergebnis dieser Multiplikation eine Z Kreuz Z Matrix sein das Endergebnis hiervon hat genau zwei
3:21 Zeilen und zwei Spalten so ein matrixprodukt kannst du jetzt am einfachsten mit dem falschen Schema ausrechnen dieses falsche Schema ist so
3:28 eine optische Unterstützung damit du auch nicht in den Zeilen und Spalten verrutscht das heißt ich empfehle dir dass du dir so eine kleine Tabelle
3:35 aufzeichnest bei der du auf die linke Seite deine erstgenannte Matrix schreibst ja auch wirklich eins zu ein abschreiben wie sie ist in Zeilen und
3:44 Spalten und hier oben deine zweitgenannte Matrix in dem Fall 101 als erste Spalte und 4 2-1 als zweite Spalte das schöne ist hier wo sich Zeilen und
3:55 Spalten übertreffen da wird jeweils ein neuer Wert entstehen und zwar hier hier hier und hier na da siehst du schon das Endergebnis wird nämlich zwei Zeilen und
4:05 zwei Spalten haben so wie wir es gerade gesagt haben und um diese vier Positionen auszurechnen musst du nur skalarprodukte machen das heißt 1 x 1 +
4:14 -2 x 0 + 3 x 1 ja genau da wo sich Zeile und Spalte übertreffen dieser Wert kommt dabei raus also 1 0 3 1 + 0 + 3 sind wir bei 4 geht's weiter hier mit diesem Wert
4:28 1 x 4 sind 4 das sind -4 und das sind -3 ja zusammen addiert -3 0 x 1 0 1* 0 0 und die beiden multipliziert ergeben -1 und dann haben
4:41 wir hier 0 2 1 addiert sind es 3 das heißt unser Ergebnis ist die Matrix 4- 3 - 1 3 und wie wir gesagt haben eine 2 kuz2 Matrix das zeigt im übrigen auch
4:53 dass die matrixmultiplikation nicht kommutativ ist sagt man das heißt dass du nicht A* b = b mal a schreiben darfst na klar bei reellen Zahlen funktioniert
5:02 ja 5 x 6 ist dasselbe wie 6 x 5 aber A* B ist nicht dasselbe wie B mal a okay alleine nur von den Dimensionen hätte das gar nicht funktioniert ja wenn du
5:15 diese Matrix mal diese Matrix rechnest vertausch die mal da wirst du sehen kommt am Ende eine 3 kuz 3 Matrix raus ist ja was anderes als hier aber selbst
5:22 wenn die Dimensionen überbereinstimmen würden muss das Ergebnis nicht stimmen okay es gibt matrizzen bei denen es komm ist wo du das Vertauschen kannst aber im
5:31 allgemeinen Fall nicht das bedeutet im übrigen auch wenn die Anzahl der Spalten der ersten Matrix und die Anzahl der Zeilen der zweiten Matrix nicht
5:39 übereinstimmen dann kann man so nicht multiplizieren was aber immer geht beispielsweise ist das Transponieren eine Matrix zu transponieren heißt
5:48 einfach nur Ihre Zeilen und Spalten zu vertauschen wir machen das mal in dem Beispiel hier oben die Matrix A zu transponieren geht ganz einfach das was
5:57 eben noch die erste Zeile war wird jetzt die erste Spalte und das was eben noch die zweite Zeile war das wird einfach zur zweiten
6:07 Spalte und da sehen wir dass sich die Dimension genau gedreht hat eben was noch eine Z Kreuz 3 Matrix und jetzt haben wir eine 3 Kreuz 2 Matrix passiert
6:18 eben durchs transponieren und dieses matrixelement diese Zahl -4 die eben noch an der Stelle 12 2 stand die steht jetzt einfach an der Stelle 21 ja auch
6:29 wie hier haben wir gerade gesagt vertauschen sich Zeilen und Spalten mehr passiert beim transponieren nicht fassen wir mal zusammen was wir bisher
6:35 rausgefunden haben wir dürfen Matritzen transponieren also Ihre Zeilen und Spalten vertauschen wir dürfen Sie addieren subtrahieren und multiplizieren
6:43 wenn die Dimensionen übereinstimmen und jetzt ist die Frage dürfen wir Sie auch durcheinander dividieren ja dann hätten wir nämlich alle grundrechenoperation
6:50 zusammen nur leider dürfen wir matriitzen nicht durcheinander dividieren so ein rechengesetz gibt es nicht was manchmal klappt ist an statt
6:59 zu dividieren mit dem inversen einer Matrix zu multiplizieren okay aber was das inverse einer Matrix ist wie man die berechnet und unter welchen
7:09 Voraussetzungen so ein inverse überhaupt existiert das schauen wir uns einfach in einem der nächsten Videos an jetzt an dieser Stelle machen wir das nicht zu
7:16 guter Letzt schauen wir uns noch ein paar wichtige Rechengesetze an die immer mal wieder auftreten z.B ist die transponierte der Summe gleich die Summe
7:23 der transponierten ich denke das hättest du intuitiv auch richtig gemacht die transponierte der transponierten na ja also wenn man zahen und Spalten tauscht
7:31 und noch mal zahlen und Spalten wieder zurücktauscht kommt natürlich die ursprüngliche Matrix bei raus ich denke das ist auch kein Wunder nur hier bei
7:38 der letzten da musst du gut aufpassen a mal B transponiert ist gleich also wenn man das transponiertzeichen reinzieht B transponiert mal a transponiert das
7:47 heißt die Reihenfolge vertauscht sich wenn du das Produkt transponierst warum das so ist das kannst Du gerne mal selber überlegen spul ruhig noch mal
7:55 zurück und schau dir noch mal den Teil an wo wir über Matrix Multiplikation gered haben und was es bedeutet zu transponieren und ich denke du wirst dir
8:03 selber erklären können warum das so ist schreibst mir doch gerne mal in die Kommentare ich bin mal gespannt wie gut du aufgepasst hast das war's auch schon
8:09 wieder mit den Grundlagen zur matrixrechnung Schau gerne mal den nächsten Videos vorbei wenn es dich interessiert wie genau man eine Matrix
8:15 invertiert falls man sie denn invertieren kann und was es eigentlich bedeutet in jedem Fall wünsche ich dir noch einen schönen Tag und wir sehen uns
8:21 beim nächsten Video ciao