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Venn Diagramme - Wahrscheinlichkeitsrechnung - einfach erklärt
Das Wichtigste aus dem Video
Tipp auf eine Zeit – das Video springt genau dorthin.
Transkriptautomatisch erstellt · 48 Zeilen
- Heute geht´s um Venn Diagramme. Wir klären kurz, was Venn Diagramme sind, welche Eigenschaften sie haben und wofür man sie verwendet. Ich zeige euch die Darstellung
- vieler Ereignisse mittels Venn Diagramm und am Ende berechnen wir noch Wahrscheinlichkeiten, wo wir Venn Diagramme zur Unterstützung verwenden. Wir besprechen auch, wie ihr euch
- einige Formeln selbst ganz einfach herleiten könnt. Also unbedingt bis zum Ende dran bleiben. Es ist hilfreich, wenn ihr euch bereits das Einleitungsvideo zu Wahrscheinlichkeiten
- mit den Axiomen von Kolmogorov angesehen habt. Der Link dazu ist in den Infokarten. Venn Diagramme sind nach dem britischen Mathematiker und Logiker John Venn benannt.
- Sie werden in der Wahrscheinlichkeitsrechnung und Mengenlehre dazu verwendet, Zusammenhänge zwischen 2 oder mehreren Ereignissen grafisch darzustellen. Ein Venn Diagramm besteht aus
- einem Rechteck mit mehreren Kreisen. Das Rechteck stellt hier Omega, also unseren Ereignisraum dar und die einzelnen Kreise präsentieren die jeweiligen Ereignisse. Die Größe
- der Kreise gibt uns dabei keine Auskunft über die Wahrscheinlichkeit des entsprechenden Ereignisses. Wenn wir Venn Diagramme für zwei Ereignisse A und B betrachten, gibt es viele Möglichkeiten
- der Darstellung und wir werden uns hier jetzt kurz einige davon ansehen. Haben wir einfach nur das Ereignis A, malen wir den Kreis von A gänzlich an. Das Komplement von A ist ja das Gegenteil,
- somit malen wir in diesem Fall alles außer A an. Wir können auch die Differenz, also A ohne B darstellen. Das wäre dann der Bereich von A, der sich nicht mit B überschneidet.
- Die Vereinigung von A und B stellt man dar, in dem man beide Kreise anmalt. Dann heißt das für A vereinigt B Komplement wiederum, dass wir genau diesen Bereich weiß lassen
- und alles rundherum anmalen, weil wir ja wieder das Gegenteil darstellen wollen. Die Schnittmenge ist der Bereich, wo sich die beiden Kreise tatsächlich überschneiden und
- A geschnitten B Komplement ist natürlich dann alles andere außer der Schnittmenge. Die symmetrische Differenz lässt sich auf mehrere Arten beschreiben. Wir notieren
- sie hier mit A geschnitten B Komplement vereinigt mit A Komplement geschnitten B. Wir werden dann im Beispiel gleich noch sehen, wie man sich das auch selbst herleiten kann.
- Nun wenden wir Venn Diagramme anhand eines Beispiels an. Anna und Basti lernen unabhängig voneinander für eine schwere Statistik Prüfung. Anna hat
- sich zur Vorbereitung Videos der Statistikquelle angesehen, Basti hat einfach so gelernt. Anna hat eine Wahrscheinlichkeit von 90 Prozent, die Prüfung zu bestehen, bei Basti sind es 40 Prozent.
- Wir wollen nun die Wahrscheinlichkeiten berechnen, dass beide die Prüfung schaffen bzw. mindestens 1 der beiden, niemand, nur Anna, höchstens 1 oder genau 1 der beiden die Prüfung besteht.
- Bevor wir starten, bestimmen wir kurz unsere Variablen. A steht dafür, dass Anna und B, dass Basti die Prüfung schafft. Wir kennen bereits auch die beiden Wahrscheinlichkeiten. Somit haben
- wir P von A gleich 0,9 und P von B gleich 0,4. Als erstes wollen wir die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass beide die Prüfung bestehen, das heißt sowohl Anna als auch Basti. Wenn wir das als
- Venn Diagramm zeichnen wollen müssen wir somit die Schnittmenge anmalen, weil nur in diesem Bereich beide die Prüfung bestanden haben. Die beiden Ereignisse sind unabhängig voneinander, deswegen
- lautet die Formel hier P von A geschnitten B ist gleich P von A mal P von B. Was unabhängig bedeutet und woher die Formel kommt seht ihr im Video zu unabhängigen und disjunkten Ereignissen.
- Die Wahrscheinlichkeiten einsetzen und wir erhalten mit 0,9 mal 0,4 ein Ergebnis von 0,36. Die Wahrscheinlichkeit, dass beide die Prüfung bestehen ist somit 36%.
- Nun wollen wir die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass mindestens 1 der beiden besteht. Wenn wir ein Venn Diagramm zur Darstellung verwenden wollen, müssen wir uns wieder überlegen, wie wir das
- korrekt einzeichnen. Mindestens 1 bedeutet ja, dass nur Anna die Prüfung bestehen kann oder nur Basti oder beide. Somit seht ihr also, dass es sich hier um die Vereinigung handelt,
- wir also die Wahrscheinlichkeit von A vereinigt B berechnen wollen. Die Formel dafür ist P von A vereinigt B ist gleich P von A Plus P von B Minus der Schnittmenge. Diese Formel könnt
- ihr euch ganz einfach selbst herleiten: Wenn wir die angemalte Fläche bestimmen wollen, können wir ja einfach die beiden Kreise von A und B miteinander addieren. Wenn wir aber den Kreis
- von A Plus den Kreis von B rechnen sehen wir, dass wir somit die Schnittmenge soeben doppelt genommen haben. Deswegen müssen wir sie noch einmal abziehen. Und so habt ihr die Formel einfach
- selbst hergeleitet. Wenn wir einsetzen erhalten wir mit 0,9 + 0,4 minus der soeben berechneten Schnittmenge von 0,36 eine Wahrscheinlichkeit von 0,94, dass mindestens 1 die Prüfung schafft.
- Als nächstes berechnen wir die Wahrscheinlichkeit, dass niemand besteht. Das heißt, dass weder Anna noch Basti die Prüfung schafft. Somit müssen wir alles außerhalb der Kreise anmalen. Alles was
- weiß geblieben ist, ist ja die Vereinigung. Wir wollen jetzt das Gegenteil berechnen, also P von A vereinigt B Komplement. Da es ja das Komplementärereignis ist,
- können wir es ganz einfach berechnen in dem wir 1 minus P von A vereinigt B rechnen – und 1 minus 0,94 ergibt dann 0,06. Weiter geht’s mit der Wahrscheinlichkeit,
- dass nur Anna besteht. Das bedeutet, wir malen nun den Kreis von A an, jedoch ohne die Schnittmenge, da Basti in dem Fall ja nicht besteht. Das ist auch gleich die Formel mit der wir das berechnen
- können. Den Kreis von A minus der Schnittmenge. Also P von A ohne B ergibt also P von A minus P von A geschnitten B. Mit 0,9 minus 0,36 erhalten wir eine Wahrscheinlichkeit von 0,54.
- Nun, dass höchsten 1 besteht. Das würde heißen, es kann sein, dass niemand besteht, nur Anna oder nur Basti. Wir malen also alles an, außer der Schnittmenge. Somit können wir die
- Wahrscheinlichkeit ganz einfach wieder berechnen, in dem wir das Gegenteil der Schnittmenge nehmen, also P von A geschnitten B Komplement. Das ist 1 minus der Schnittmenge,
- also 1 minus 0,36 und das ergibt 0,64. Zum Schluss noch die Wahrscheinlichkeit, dass genau 1 Person die Prüfung besteht. Das heißt, die Fläche rundherum lassen wir frei,
- es kann sein, dass Anna alleine die Prüfung schafft, genauso kann es sein, dass Basti die Prüfung schafft. Wir malen also beide Kreise an, jedoch ohne die Schnittmenge. Ihr
- könnt dies nun auf mehrere Arten berechnen. Eine Möglichkeit wäre, die zuvor beschriebene Formel für die symmetrische Differenz zu verwenden. Die Formel mag nicht sehr intuitiv sein, ihr könnt sie
- euch aber ganz einfach selbst herleiten. Ihr könnt euch selbst ganz einfach mit einem Satz verschriftlichen, was ihr berechnen wollt. Das Venn Diagramm,
- so wie wir es angemalt haben bedeutet ja nichts anderes als, dass Anna die Prüfung schafft und Basti nicht oder dass Anna die Prüfung nicht schafft und Basti aber die Prüfung besteht.
- Wenn ihr euch erinnert bezeichnen wir ja die Vereinigung auch als „oder“ und die Schnittmenge auch als „und“. Somit können wir das oben geschriebene direkt in unsere Formel
- umwandeln. „Anna besteht“ bedeutet P von A – „und“ bedeutet die Schnittmenge – „Basti nicht“ ist ja das Gegenteil davon, dass Basti die Prüfung besteht somit B Komplement. Das wäre also
- der linke Kreis. „Oder“ heißt Vereinigung – „Anna nicht“ wäre dann P von A Komplement „und“ – also geschnitten – Basti schon also B. Somit habt ihr diese doch etwas komplizierter
- aussehende Formel ganz einfach selbst hergeleitet. Berechnen können wir das dann, in dem wir P von A mal P von B Komplement rechnen Plus P von A Komplement mal P von B. 0,9 mal 0,6 – dem
- Gegenteil von B – plus 0,4 mal 0,1 – dem Gegenteil von A. Das ergibt dann 0,58 als Ergebnis. Wenn ihr so wie in unserem Fall zuvor schon Vereinigung und Schnittmenge berechnet habt,
- könnt ihr dasselbe auch berechnen, in dem ihr die Schnittmenge von der Vereinigung abzieht. Das wäre also P von A vereinigt B minus P von A geschnitten B. Also 0,94 minus 0,36 was wieder 0,58 ergibt.
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