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Wurzel aus 2 ist irrational BEWEIS – Wurzel 2 ist nicht Element Q, Widerspruchsbeweis
Das Wichtigste aus dem Video
Tipp auf eine Zeit – das Video springt genau dorthin.
Transkriptautomatisch erstellt · 56 Zeilen
- hallo ihr lieben in dem heutigen video möchte ich zusammen mit euch beweisen dass die wurzel aus zwei eine irrationale zahl ist und wir werden hier
- den beweis von euch lied durchgehend er hat es schon bewiesen wir müssen uns also nix neues ausdenken wir müssen nur versuchen diesen beweis nachzuvollziehen
- und das ist ein beweis durch widerspruch denn er geführt hat das heißt man geht dabei so vor dass man erst mal das was man zu zeigen hat sagt man dass das
- nicht stimmt also wir sollen zwar zeigen dass wurzel zwei eine irrationale zahl ist aber wir sagen erst mal wie gehen wir davon aus das ist falsch
- also wir gehen davon aus dass wurzeln zwei tatsächlich eine rationale zahlen und dann führen wir das ganze zu einem fehler
- und dann wissen wir nämlich dann haben wir gezeigt dann musste wurzel 2 doch eine irrationale zahl sein und genau so geht man vor das heißt angenommen wurzel
- 2 ist eine rationale zahl also angenommen wo zwei wäre rational was bedeutet das jetzt wenn wurzel zwei eine rationale zahl wäre dann könnte man
- wurzel zwei als einen bruch darstellen rationale zahlen sind ja alles brüche das heißt man könnte wurzel 2 als ein buch schreiben in dem oben eine zahl als
- zähler steht und unten eine zahl als nenner steht wir kennen sie nicht die zahl aber wenn die wurde dass zwei rational wäre dann kann man sie eben als
- buch schreiben so jetzt müssen wir schauen was dann für diese zahlen a und b denn gilt also wurzel zwei an sich ist ja eine positive zahlen das müssen wir
- auf jeden fall dann sind a und b auch positive zahlen und ganze zahl natürlich in einem bruch stehen ja immer ganze zahlen also können wir sagen das sind
- natürliche zahlen a und b so was wie 12345 was auch immer was kennen wir noch über a und b wir würden gerne davon ausgehen dass das
- hier ein vollständig gekürzter bruch ist es gibt ja für einbruch verschiedene schreibweisen du kannst du fünf halbe schreiben oder zehn viertel das ist ja
- derselbe bruch aber wir wollen von der gekürzten vollständige kürzen variante ausgehen das heißt dass a und b also oben unten
- die haben keine gemeinsamen tyler mehr das ist ja ein vollständig gekürzter bruch das heißt a und b sind auch tyler fremd
- das heißt dann einfach die haben keine gemeinsam teilen lassen unsere voraussetzungen können wir annehmen einbruch kann man ja immer kürzen und
- wir sagen jetzt das ist die vollständig gekürzte variante von diesen bruch der wurzel 2 s und jetzt können wir mit der gleichung hat verschiedene sachen machen
- wir quartieren sie einfach mal und schauen dann ob uns das was bringt wenn wir diese gleichung hier quartieren dann steht hier nicht mehr wurzel von
- zwei sondern nur noch zwei auf der seite und hier steht quadrat durch b quadrat also jeden teil der hier irgendwie vorkommt haben wir quartiert ok bringt
- uns jetzt vielleicht noch nicht aber wenn wir jetzt dieses b quadrat noch auf die andere seite bringen also mal b quadrat rechnen
- dann steht da zweimal b quadrat gleich und hier auf der seite steht nur noch das quadrat jetzt können wir daraus schlussfolgern
- denn hier steht quadrat ist zweimal b quadrat was passiert wenn zwei mal in irgend etwas drin ist also zweimal 15 2 x 7 bis
- 14 zweimal ist auf jeden fall immer eine gerade zahl weil ich x 22 x irgendwas wird immer zu einer geraden zahl
- das bedeutet dass steht nämlich jetzt genau hier zwei mal irgendwas ist quadrat dann wissen wir dass das quadrat gerade sein muss weil wir haben ja eine
- darstellung gefunden dass das steht zwei mal irgendwas ist akkurat ok wenn quadrat jetzt aber gerade ist also eine gerade zahl dann muss auch an
- sich gerade sein weil wenn man die wurzel aus einer geraden zahl zieht kommt wieder eine gerade zahl raus wurzel aus 16 ist eine gerade zahl vier
- also 16 ist gerade die vier ist gerade wurzel aus 36 ist auch wieder gerade zahl wurde die ausführung von 20 wiederum ist eine ungerade zahl da kommt
- eine ungerade zu haus also das verhältnis muss man halt eben kennen das wurzeln von geraden zahlen wieder gerade sind das heißt das was wir hier
- geschrieben haben passt wenn quadrat gerade ist dann ist auch gerade so das heißt wir haben jetzt herausgefunden über unsere zahlen obwohl wir gar nichts
- angenommen hatten oben wissen wir jetzt schon mal das an sich gerade sein muss damit gehen wir jetzt mal auf die andere seite merken uns aber ganz kurz noch
- diesem zusammenhang hier den markiere ich mal wurzeln als die erste als eine gleichung die wir uns merken die brauchen wir jetzt nämlich gleich
- noch die habe ich auf die andere seite geschrieben und wir merken uns das a gerade ist also diese gleichung findet ihr jetzt hier noch mal auf der seite
- und wir machen jetzt damit was das er gerade ist wenn eine gerade zahl ist das hat mir eben schon dann kann man abschreiben als zwei mal eine andere
- zahl also das haben wir leben gehabt eine gerade zahl kann man immer als zwei mal irgendeine andere zahlen schreiben die 16 kannst du schreiben als zwei mal
- eine andere zahl nämlich die 8 so was bringt uns das jetzt keine ahnung aber er hat er den beweis gemacht wir wollen ihnen nur nachvollziehen er hat
- dann das ding einfach mal quartiert mama das quadrat auch hier müssen wir jedes teil quartieren zwei quadrat ist vier und
- quadrat wird zum quadrat ok jetzt steht hier quadrat gleich viermal quadrat wir merken uns unsere gleichung von eben habe ich euch gesagt die brauchen wir
- noch weil schaut mal hier sind quadrat und da ist ein quadrat dann können wir doch dass da was für quadrat hier jetzt steht können wir ja dafür das quadrat
- einsetzen das heißt dann steht da 2 b quadrat gleich und statt dem quadrat können wir hier dieses 4k quadrat schreiben eine
- gleichung ist das wir teilen die man durch zwei können wir machen dann steht hier nur noch das b quadrat alleine und hier steht 4 durch 2 das sind zwei
- quadrat was haben wir denn jetzt rausgefunden b quadrat gleich zwei mal irgendwas anderes da das hatten wir doch jetzt
- eben schon dann muss das b quadrat ja auch eine gerade zahl sein weil man es eben als zwei mal irgendwas anderes schreiben kann
- ok b quadrat ist also gerade dann wissen wir auch wenn b quadrat gerade ist damit die wurzel ziehen das hat mir eben schon dann ist das was rauskommt auch gerade
- also wenn wir aus b quadratwurzeln ziehen dann bleib da nur noch übrig und das ist dann auch gerade seht ihr den fehler scheint in der jetzt tatsächlich
- aufgetaucht ist wir haben herausgefunden b es gerade und auch ist eine gerade zahl das heißt das wer sowas wie 18 durch 10
- das sind zwei gerade zahlen womit kann man zwei gerade zahlen denn immer kürzen immer mit der zweite steckte immer die zwei drin
- das heißt das könnte man kürzen mit der zwei zu 95 wozu ist das denn jetzt ein widerspruch ganz am anfang haben wir gesagt wir
- haben hier oben die vollständig gekürzt von unserem bruch also a und b sind tyler fremd da stecken keine gemeinsamen teile mehr drin jetzt haben wir aber
- herausgefunden dass gerade und auch b ist gerade dann muss er die zwei in beiden drin stecken und das wäre eben ein widerspruch dazu dass wir gesagt
- haben die sollen schon vollständig gekürzt sein der bruch herum und deswegen haben wir den widerspruch jetzt gefunden das heißt dass unsere
- annahme hier oben falsch gewesen sein muss und da wir angenommen haben wird zu zwei wäre rational wenn das falsch ist bedeutet das dass wurzel 2 tatsächlich
- ihr rational sein muss um das ist der beweis es vielleicht ein bisschen gewöhnungsbedürftig beziehungsweise man macht sachen wo man gar nicht weiß was
- warum macht man die denn jetzt überhaupt aber ihr seht es funktioniert also merkt euch die schritte einfach man muss es hinbekommen zu zeigen dass er gerade ist
- und dass auch b gerade ist und das ist dann eben unser widerspruch dazu dass wir angenommen hatten dass wir hier ein vollständig gekürzten bruch hier oben
- stehen haben genau ich hoffe ihr wisst jetzt wie man diesen beweis durchführt und falls sie aber trotzdem noch fragen habt dann
- meldet euch dazu einfach in den kommentaren
Zum Nachlesen
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