Wechselstrom: Frequenz, Effektivwert und Stromnetz

Eine sinusförmige Wechselspannung lässt sich beschreiben durch

u(t)=u_{\max}\sin(2\pi f t)

u(t) ist der momentane Spannungswert, u_{\max} der positive Scheitelwert, f die Frequenz und t die Zeit. Für die Stromstärke gilt entsprechend i(t)=i_{\max}\sin(2\pi f t).

Die Periodendauer T ist die Zeit für eine vollständige Wiederholung. Frequenz und Periodendauer sind Kehrwerte:

T=\frac{1}{f}

Umgekehrt gilt:

f=\frac{1}{T}

Sind Spannung und Strom gleichzeitig bei Maxima, Minima und Nulldurchgängen, heißen sie gleichphasig. Eine Phasenverschiebung liegt vor, wenn diese Punkte zu verschiedenen Zeiten eintreten, etwa bei Spulen oder Kondensatoren. Für die Leistungsrechnung betrachten wir einen ohmschen Widerstand mit gleichphasigen Sinusgrößen.

Ein sinusförmiger Wechselstrom hat über eine ganze Periode den Mittelwert null: Positive und negative Werte heben sich auf. Trotzdem kann er einen Widerstand erwärmen und Energie übertragen. Diese Wirkung beschreibt der Effektivwert. Für sinusförmige Spannung gilt:

U_{\mathrm{eff}}=\frac{u_{\max}}{\sqrt{2}}

Für sinusförmige Stromstärke gilt:

I_{\mathrm{eff}}=\frac{i_{\max}}{\sqrt{2}}

U_{\mathrm{eff}} ist die effektive Spannung und I_{\mathrm{eff}} die effektive Stromstärke. Umgekehrt erhältst du den Spannungsscheitelwert:

u_{\max}=\sqrt{2}\,U_{\mathrm{eff}}

An einem ohmschen Widerstand sind sinusförmige Spannung und Stromstärke gleichphasig. Dann gilt für die momentane Leistung:

p(t)=u(t)i(t)=u_{\max}i_{\max}\sin^2(2\pi f t)

Weil das Quadrat nicht negativ ist, bleibt p(t) in diesem Modell nichtnegativ. Die Leistung schwankt zwischen null und ihrem Höchstwert. Ihr zeitlicher Mittelwert ist:

\overline{P}=U_{\mathrm{eff}}I_{\mathrm{eff}}=\frac{1}{2}u_{\max}i_{\max}

Bei einer Phasenverschiebung muss die Leistungsbetrachtung erweitert werden.

Elektrische Energie wird über mehrere Spannungsebenen verteilt. Die Generatoren des Wechselstromnetzes liefern Wechselspannung. Transformatoren erhöhen sie für den Transport und senken sie später stufenweise bis zur Haushaltsversorgung. Der große Vorteil von Wechselspannung ist, dass sich ihre Spannung mit Transformatoren vergleichsweise einfach verändern lässt.

Warum hilft eine hohe Spannung? In einem vereinfachten Modell gilt für die übertragene Leistung

P=UI

Soll dieselbe Leistung P übertragen werden, folgt

I=\frac{P}{U}

Eine höhere Spannung U bedeutet dann eine kleinere Stromstärke I. Für eine Leitung mit dem Widerstand R werden die Wärmeverluste durch

P_{\mathrm{Verlust}}=I^2R

beschrieben. Weil die Stromstärke quadriert wird, wirkt ihre Verringerung besonders stark.

Das Modell vergleicht dieselbe Leistung und dieselbe Leitung. Reale Netze enthalten zusätzlich Transformatoren, Phasenverschiebungen und weitere Verlustquellen. Der grundlegende Zusammenhang bleibt: Für die Fernübertragung wird die Spannung hochgesetzt, damit die Stromstärke und damit die Leitungsverluste kleiner werden.

Im Alltag treffen AC und DC oft in einer Umwandlungskette aufeinander.

Haushaltsgerät: Aus der Steckdose kommen 230\,\mathrm{V} Wechselspannung. Manche Geräte nutzen AC direkt; viele elektronische Geräte wandeln den Wechselstrom im Netzteil in DC um.

Photovoltaik: Solarzellen erzeugen Gleichstrom. Ein Wechselrichter wandelt ihn für die Nutzung im Wechselstromnetz um.

Elektroauto: Der Akku wird mit Gleichstrom geladen. Beim AC-Laden wandelt das Ladegerät im Fahrzeug AC in DC. Beim DC-Schnellladen geschieht die Umwandlung bereits in der Ladesäule.

Sehr lange Übertragungsstrecke: Konverterstationen können Netz-AC in Hochspannungs-Gleichstrom umwandeln und am Ende wieder AC bereitstellen.

Drehstrom ist Wechselstrom mit drei sinusförmigen Phasen, die um 120^\circ gegeneinander verschoben sind. Er wird unter anderem für leistungsstarke Geräte und in der Energieversorgung eingesetzt. Die normale Haushaltssteckdose liefert einphasige Wechselspannung mit 230\,\mathrm{V}; Drehstromanschlüsse werden häufig mit 400\,\mathrm{V} angegeben.