Gleitkommazahlen: Aufbau, Umwandlung und Fehler

Eine Gleitkommazahl eignet sich für sehr große und für sehr kleine Zahlen. Sie besteht aus zwei Teilen: Der Exponent (die Hochzahl) gibt die Größenordnung an, das ist gleichbedeutend mit der Position des Kommas. Die Mantisse legt den Wert genauer fest. Das Komma „gleitet“, weil seine Position nicht fest ist.

Dazu kommt das Vorzeichen. Den Wert berechnet man aus Vorzeichen s, Mantisse m, Basis b und Exponent e nach der Formel s · m · b^e. Das Vorzeichen s ist entweder +1 oder −1. Im Speicher steht es in einem eigenen Bit: Das Bit 0 bedeutet positiv, das Bit 1 bedeutet negativ.

Zum Speichern wird die Zahl in drei Bitfolgen zerlegt: Vorzeichen, Exponent und Mantisse. Im Format binary32 hat der Exponent 8 Bit und die Mantisse 23 Bit. Der Exponent kann auch negativ sein. Damit man ihn trotzdem als Zahl ohne Vorzeichen speichern kann, wird ein fester Biaswert addiert. Bei binary32 ist er 127.

Bei der normalisierten Mantisse in Basis 2 ist die erste Ziffer immer eine 1. Diese führende 1 muss nicht gespeichert werden. Man nennt sie „hidden bit“ (verstecktes Bit). Die Anzahl der Exponentenbits legt vor allem Maximum und Minimum der darstellbaren Zahlen fest. Die Anzahl der Mantissenbits bestimmt die relative Genauigkeit. Bei binary32 sind das 24 Binärstellen, also etwa 7 Dezimalstellen.

Das Format binary32 belegt 32 Bit, das sind 4 Byte pro Zahl. Es besteht aus 1 Bit Vorzeichen, 8 Bit Exponent und 23 Bit Mantisse. Der Biaswert berechnet sich aus der Zahl r der Exponentenbits als 2^(r−1) − 1. Mit r = 8 ergibt das 127.

Die Mantisse hat 24 Stellen. Weil die erste Stelle immer eine 1 ist, werden nur 23 Bit gespeichert, nämlich die Stellen nach der ersten 1. Liegt eine Zahl zwischen zwei Zweierpotenzen, ist der Exponent e die Hochzahl der kleineren Zweierpotenz. Der gespeicherte Exponent ist dann E = e + 127.

Das Vorgehen für eine positive Zahl: Erst bestimmst du e, dann E = e + 127 in binär. Danach teilst du die Zahl durch 2 hoch e und erhältst eine Zahl der Form 1,… Der Teil nach dem Komma wird mit 2²³ malgenommen, auf eine ganze Zahl gerundet und binär geschrieben. Zum Schluss setzt du Vorzeichen (bei positiven Zahlen 0), Exponent und Mantisse hintereinander.

Wegen des Rundens ist das Ergebnis oft nur eine Näherung. Aus den Bits für 18,4 ergibt sich zurückgerechnet 18,399 999 618 530 273 437 5, also nicht genau 18,4.

Rundungsfehler haben zwei Gründe. Erstens ist die Menge der darstellbaren Zahlen begrenzt. Deshalb müssen Zwischenergebnisse nach jedem Schritt gerundet werden, damit sie ins Format passen. Dabei wird zur nächstgelegenen darstellbaren Zahl gerundet. Zweitens lässt sich schon 0,1 nicht exakt binär speichern: Jede rationale Zahl, deren gekürzter Nenner keine Zweierpotenz ist, wird im Binärsystem periodisch und bricht nicht ab. Dezimal 0,1 ist binär 0,0001100110011… Gespeichert werden nur die ersten Ziffern, dadurch entsteht Ungenauigkeit.

Wegen des Rundens gelten die aus der Bruchrechnung bekannten Rechenregeln nicht mehr. Deshalb prüft man Gleitkommazahlen nicht auf exakte Gleichheit. Man fragt stattdessen, ob sie sich im Rahmen einer Toleranz ε als gleich ansehen lassen.

Absorption: Die Addition oder Subtraktion einer betragsmäßig viel kleineren Zahl ändert die größere Zahl nicht. Der Computer bringt beide Zahlen auf den gleichen Exponenten, addiert und rundet dann wieder auf die erlaubte Stellenzahl. Die kleine Zahl verschwindet beim Runden. Deshalb hat die Gleichung 1 + x = 1 in einer vierstelligen Dezimal-Gleitkomma-Arithmetik viele Lösungen, nämlich alle Zahlen, die zu klein sind, um das Ergebnis zu verändern.

Auslöschung ist der Verlust an Genauigkeit bei der Subtraktion fast gleich großer Gleitkommazahlen. Stammen die Zahlen aus früheren Rechnungen, sind ihre hinteren Stellen durch Rundungsfehler beeinflusst. Stimmen die vorderen Stellen überein, löschen sich die gültigen Stellen zu 0 aus. Die Differenz besteht dann nur noch aus Rundungsfehlern. Beispiel: 2,346789 − 2,345678 = 0,001111. Sind nur die ersten drei Ziffern korrekt, ergibt sich mit den korrekten Ziffern 2,34 − 2,34 = 0. Im Ergebnis 0,001111 steckt dann keine einzige korrekte Ziffer mehr.

Faustregel: Stimmen zwei p-stellige, fast gleich große Zahlen in den ersten k Stellen überein, gehen im Ergebnis k der möglichen p Stellen verloren. Oft lässt sich Auslöschung vermeiden, indem man die betroffene Subtraktion durch eine Umformung der Formel vermeidet.

Zwei Exponentenwerte sind für Sonderfälle reserviert: der Maximalwert (alle Bits 1) und der Minimalwert (alle Bits 0). Bei binary32 sind das 1111 1111 und 0000 0000. Mit dem maximalen Exponentenwert werden NaN und Unendlich kodiert. Mit Null im Exponenten werden die Null und die denormalisierten Werte kodiert. Das sind Zahlen zwischen der kleinsten normalisierten Zahl und Null. Entscheidend ist dann die Mantisse.

Null: Exponentenbits alle 0 und Mantissenbits alle 0. Es gibt auch den Wert −0. Beim direkten Vergleich gelten +0,0 und −0,0 aber als gleich.

Unendlich: Exponentenbits alle 1 und Mantissenbits alle 0. Unendlich steht für Zahlen, deren Betrag zu groß ist, um dargestellt zu werden. Es gibt +∞ und −∞.

NaN heißt „Not a Number“, also „keine Zahl“. Die Exponentenbits sind alle 1 (wie bei Unendlich), aber die Mantissenbits sind nicht alle 0. NaN steht für ungültige (oder nicht definierte) Ergebnisse, zum Beispiel die Quadratwurzel aus einer negativen Zahl. NaN ist nicht dasselbe wie Unendlich. Das Vorzeichenbit hat bei NaN keine Bedeutung. Zwei NaN gelten immer als verschieden, selbst wenn ihre Bitmuster übereinstimmen.

Bei einem 32-Bit-NaN steht das höchste Mantissenbit a für die Art: Ist a = 1, ist es eine stille NaN. Ist a = 0 und sind die Nutzdaten ungleich Null, ist es eine anzeigende NaN.