Umfüllrätsel

Grundidee und Ziel

Umfüllrätsel sind Denksportaufgaben, bei denen bestimmte Wassermengen mit Gefäßen ohne Skala abgemessen werden. In der einfachsten Version gibt es drei Gefäße mit bekannten Volumen. Zu Beginn ist eines vollständig mit Wasser gefüllt, die beiden anderen sind leer. Durch wiederholtes Umfüllen sollen vorgegebene Mengen entstehen.

Beim Umfüllen darf jeweils nur zwischen Gefäßen gegossen werden. Ein Vorgang endet normalerweise damit, dass ein Gefäß vollständig geleert oder ein anderes vollständig gefüllt ist. Dadurch entstehen klar unterscheidbare Zustände, die sich mathematisch beschreiben und systematisch untersuchen lassen.

Beispiel mit drei Gefäßen

Ein Gefäß fasst 8 Liter und ist vollständig gefüllt. Die beiden anderen Gefäße haben ein Fassungsvermögen von 3 beziehungsweise 5 Litern und sind leer. Gesucht ist eine Lösung, bei der anschließend sowohl im 5-Liter- als auch im 8-Liter-Gefäß genau 4 Liter Wasser enthalten sind.

Die Zustände werden als Tripel in der Reihenfolge der Gefäße mit 3, 5 und 8 Litern notiert. Der Ausgangszustand lautet (0, 0, 8), der gewünschte Endzustand (0, 4, 4). Eine mögliche Folge ist:

• Das 5-Liter-Gefäß wird aus dem 8-Liter-Gefäß gefüllt: (0, 5, 3).
• Aus dem 5-Liter-Gefäß wird das 3-Liter-Gefäß gefüllt: (3, 2, 3).
• Das 3-Liter-Gefäß wird in das 8-Liter-Gefäß entleert: (0, 2, 6).
• Das 5-Liter-Gefäß wird in das 3-Liter-Gefäß geleert: (2, 0, 6).
• Das 5-Liter-Gefäß wird erneut aus dem 8-Liter-Gefäß gefüllt: (2, 5, 1).
• Das 3-Liter-Gefäß wird aus dem 5-Liter-Gefäß aufgefüllt: (3, 4, 1).
• Der Inhalt des 3-Liter-Gefäßes wird in das 8-Liter-Gefäß zurückgeschüttet: (0, 4, 4).

Damit sind die gesuchten 4 Liter im 5-Liter- und im 8-Liter-Gefäß abgemessen.

Historische Entwicklung

Die erste schriftliche Überlieferung eines Umfüllproblems steht in den Annales Stadenses, einer Chronik, die Albert von Stade im 13. Jahrhundert zusammenstellte. Beim Eintrag für das Jahr 1152 finden sich mehrere Rätsel, darunter auch das Beispiel mit den Gefäßen von 3, 5 und 8 Litern.

Im 16. Jahrhundert beschäftigte sich Niccolò Tartaglia mit solchen Problemen; deshalb wurden sie häufig ihm zugeschrieben. 1917 vermutete der Rätselexperte Henry Dudeney, dass es zumindest für Spezialfälle Formeln geben könnte, nachdem diese Aufgaben seiner Einschätzung nach bis dahin nur durch Versuch und Irrtum gelöst worden waren. 1939 entwickelte M. C. K. Tweedie eine systematische Lösung. Im 20. Jahrhundert setzte Abraham S. Luchins Umfüllaufgaben in psychologischen Experimenten ein.

Geometrische und algebraische Analyse

Tweedie beschrieb Umfüllrätsel mithilfe trilinearer Koordinaten. Für das Beispiel mit den Gefäßgrößen 3, 5 und 8 Litern wird ein gleichseitiges Dreieck mit der Höhe 8 verwendet. Jede Füllmengenverteilung wird als Punkt im Dreieck dargestellt, wenn die drei Wassermengen als Trilinearkoordinaten gelesen werden.

Nicht jeder Punkt des Dreiecks entspricht einem gültigen Zustand: Das 3-Liter- und das 5-Liter-Gefäß können ihre jeweiligen Fassungsvermögen nicht überschreiten. Die zulässigen Füllzustände bilden daher ein Parallelogramm innerhalb des Dreiecks. Beim Umfüllen bleibt immer ein Gefäß unberührt; geometrisch bewegt man sich deshalb auf einer Parallelen zu einer Dreiecksseite. Weil bei jedem Umfüllvorgang ein Gefäß vollständig geleert oder gefüllt wird, muss der Weg im Parallelogramm jeweils bis zu dessen Rand führen.

Beim Beispiel ist der gesamte Lösungsweg bereits durch den ersten Schritt festgelegt. Auf den Zustand (0, 5, 3) folgen automatisch die Zustände (3, 2, 3), (0, 2, 6), (2, 0, 6), (2, 5, 1), (3, 4, 1) und schließlich (0, 4, 4).

Der Weg besitzt die Besonderheit, dass Eintritts- und Austrittswinkel an den Randpunkten übereinstimmen. Deshalb kann man ihn mit der Bahn einer idealen Billardkugel auf einem parallelogrammförmigen Tisch vergleichen. Bei anderen Gefäßgrößen kann anstelle des Parallelogramms ein unregelmäßiges Fünf- oder Sechseck entstehen; die Lösungsidee bleibt dieselbe.

Auch für mehr als drei Gefäße ist eine entsprechende Darstellung möglich, dann liegen die Figuren in höherdimensionalen Räumen. Zusätzlich gibt es eine algebraische Lösung von Paolo Boldi, Massimo Santini und Sebastiano Vigna. Sie liefert unter anderem obere und untere Schranken für die Zahl der notwendigen Umfüllungen.