Trapezzahl

Definition und Abgrenzung

Eine Trapezzahl ist eine natürliche Zahl, die als Summe von mindestens zwei aufeinander folgenden natürlichen Zahlen dargestellt werden kann. Dabei muss der kleinste Summand größer als 1 sein. Die Summanden können als Plättchenmuster trapezförmig angeordnet werden.

Wenn der kleinste Summand gleich 1 ist, handelt es sich nicht um eine Trapezzahl, sondern um eine Dreieckszahl.

Wichtige Eigenschaften

Jede ungerade natürliche Zahl n = 2k + 1 ist eine Trapezzahl, denn sie lässt sich als Summe zweier aufeinander folgender natürlicher Zahlen schreiben: 2k + 1 = k + (k + 1), mit k, n ∈ ℕ.

Jede Trapezzahl hat einen ungeraden Teiler.

Eine natürliche Zahl n lässt sich genau dann als Trapezzahl darstellen, wenn n keine Zweierpotenz ist. Zweierpotenzen sind Zahlen wie 2, 4, 8, 16 usw., also Potenzen der Zahl 2.

Besondere Trapezzahlen

Eine besondere Art von Trapezzahlen entsteht, wenn der kleinste Summand genauso groß ist wie die Gesamtanzahl der Summanden. Solche Trapezzahlen lassen sich als Plättchenmuster auch als Kombination aus einer Quadratzahl und einer aufgesetzten Dreieckszahl darstellen.

Dabei wird zur n-ten Quadratzahl n² die (n - 1)-te Dreieckszahl Dₙ₋₁ hinzugefügt.

Bildungsgesetz

Die besonderen Trapezzahlen bilden eine Teilfolge (Tₙ)ₙ∈ℕ der Folge aller Trapezzahlen. Für sie gilt das Bildungsgesetz:

Tₙ = (3n² - n) / 2.

Die Formel ergibt sich daraus, dass Tₙ aus der Quadratzahl n² und der Dreieckszahl 1/2 · (n - 1)n zusammengesetzt ist:

Tₙ = n² + 1/2 · (n - 1)n = (3n² - n) / 2.

Beispiel und Rest bei Division durch 3

Ein Beispiel für eine besondere Trapezzahl ist n = 4. Setzt man n = 4 in die Formel ein, erhält man:

T₄ = 22.

Außerdem gilt für alle n ∈ ℕ: Tₙ lässt bei Division durch 3 denselben Rest wie n. Das folgt aus der Umformung:

Tₙ = (3n² - n) / 2 = 3 · 1/2 · (n - 1)n + n = 3 · Dₙ₋₁ + n.

Da 3 · Dₙ₋₁ durch 3 teilbar ist, bestimmt n den Rest von Tₙ bei Division durch 3.