Tetrade (allgemeine Relativitätstheorie)

Definition und Zweck

Eine Tetrade, auch Vierbein genannt, ist in der allgemeinen Relativitätstheorie eine speziell orthonormierte Basis des Tangentialraums einer Raumzeit-Mannigfaltigkeit. Sie wird meist an allen Punkten oder zumindest auf einer größeren offenen Menge zusätzlich zur vorhandenen Koordinatenbasis \{\partial_\mu\} eingeführt. Tetraden können insbesondere die Berechnung der Raumzeitkrümmung vereinfachen.

Die vier Basisvektoren der Tetrade werden als \{e_a\} bezeichnet. Sie werden so gewählt, dass ihre inneren Produkte der Metrik des Minkowski-Raums entsprechen:

e_\mu\cdot e_\nu=\eta_{\mu\nu}.

Dabei ist \eta_{\mu\nu} die Minkowski-Metrik. Das innere Produkt wird jedoch mit der riemannschen Metrik der jeweils betrachteten Mannigfaltigkeit gebildet. Die Tetrade stellt somit lokal eine orthonormierte Basis bereit, obwohl die Raumzeit insgesamt gekrümmt sein kann.

Komponenten und physikalische Bedeutung

Nach der Einführung einer Tetrade lassen sich die Komponenten eines Vektor- oder Tensorfeldes auf zwei Arten angeben:

• Komponenten bezüglich der Tetrade heißen „nicht-holonom“.
• Komponenten bezüglich der Koordinatenbasis heißen „holonom“.

Für beide Arten von Indizes verwendet man normalerweise deutlich unterscheidbare Symbole. Nicht-holonome Vektor- und Tensorindizes werden mit der Minkowski-Metrik nach oben oder unten gezogen, während holonome Indizes zur Koordinatenbasis gehören.

Physikalisch entspricht eine Tetrade lokal einem frei fallenden Bezugssystem. An einem festen, aber frei wählbaren Punkt können deshalb die bekannten Gesetze der speziellen Relativitätstheorie angewendet werden. Mithilfe der cartanschen Strukturgleichungen lässt sich aus einer Tetrade außerdem der Krümmungstensor berechnen, der die Krümmung der Raumzeit beschreibt.

Wahlfreiheit und Eichsymmetrie

Die Wahl einer Tetrade ist nicht eindeutig. Wird eine gültige Tetrade durch eine korrekt lokal definierte Lorentz-Transformation verändert, entsteht wieder eine gültige Tetrade. Eine Lorentz-Transformation ist dabei eine Transformation, welche die Minkowski-Metrik und damit die lokalen Beziehungen der speziellen Relativitätstheorie erhält.

Diese lokale Wahlfreiheit kann als Eichsymmetrie der Gravitation gedeutet werden: Verschiedene Tetraden können dieselbe physikalische Raumzeitgeometrie beschreiben.

Beispiel für die Schwarzschild-Metrik

Für die Schwarzschild-Metrik ist eine Tetrade, welche die genannten Bedingungen erfüllt, durch folgende vier Basisvektoren gegeben:

{\vec e}_0=\frac{1}{\sqrt{1-2m/r}}\,\partial_t,

{\vec e}_1=\sqrt{1-2m/r}\,\partial_r,

{\vec e}_2=\frac{1}{r}\,\partial_\theta,

{\vec e}_3=\frac{1}{r\sin(\theta)}\,\partial_\phi.

Die Vektoren sind skalierte Richtungen der Koordinatenbasis für Zeit t, Radius r sowie die Winkel \theta und \phi. Die Skalierungsfaktoren sorgen dafür, dass die Basis bezüglich der Schwarzschild-Metrik orthonormiert ist und ihre inneren Produkte somit der Minkowski-Metrik entsprechen.