Wikipedia · einfach zusammengefasst · Stand
Spirische Kurve
Eine spirische Kurve ist der ebene Schnitt eines Torus mit einer Ebene, die parallel zur Rotationsachse ist. Die letzte Definition gibt einem eine gute …
Inhalt4 Abschnitte
Definition und Bedeutung
Eine spirische Kurve, auch spirische Kurve des Perseus oder spirische Linie genannt, ist in der Geometrie eine ebene Kurve vierter Ordnung. Sie kann durch eine Gleichung der Form (x² + y²)² = d x² + e y² + f beschrieben werden.
Gleichwertig dazu ist die geometrische Definition: Eine spirische Kurve ist der ebene Schnitt eines Torus mit einer Ebene, die parallel zur Rotationsachse des Torus ist. Diese Definition zeigt anschaulich, warum spirische Kurven unterschiedliche Formen annehmen können: Sie entstehen je nachdem, wie die parallele Ebene den Torus schneidet.
Bestimmte bekannte Kurven sind Sonderfälle spirischer Kurven. Wenn die Schnittebene genau im Abstand r, dem „minor“ Radius des rotierenden Kreises, von der Rotationsachse des Torus liegt, entstehen Cassinische Kurven als Teilmenge. Dazu gehören auch die Lemniskaten von Bernoulli. Auch die Lemniskaten von Booth sind spezielle spirische Kurven.
Gleichungen am Torus
Ausgangspunkt ist ein Torus mit der Gleichung (x² + y² + z² + R² − r²)² = 4R²(x² + y²). Dabei stehen R und r für die Radien des Torus. Schneidet man diesen Torus mit der Ebene y = y₀, erhält man zunächst (x² + y₀² + z² + R² − r²)² = 4R²(x² + y₀²).
Durch teilweises Auflösen der linken Klammer entsteht eine Gleichung der Form (x² + z²)² = d x² + e z² + f. Das ist die Gleichung einer spirischen Kurve in den x-z-Koordinaten.
Die Koeffizienten sind dabei: d = 2(r² + R² − y₀²), e = 2(r² − R² − y₀²), f = −(r + R + y₀)(r + R − y₀)(r − R + y₀)(r − R − y₀).
Polarkoordinaten
In Polarkoordinaten ρ und φ lässt sich die spirische Kurve ebenfalls darstellen. Aus dem Torusschnitt ergibt sich die Gleichung (ρ² − r² + R² + y₀²)² = 4r²(ρ² cos² φ + y₀²).
Daraus folgt die implizite Darstellung ρ⁴ − ρ²(d cos² φ + e sin² φ) − f = 0. „Implizit“ bedeutet hier, dass die Punkte der Kurve durch eine Gleichung beschrieben werden, ohne dass ρ direkt als Funktion von φ aufgelöst sein muss.
Besondere Fälle
Bei einem Spindeltorus können spirische Kurven besondere Formen haben. Ein Spindeltorus ist ein Torus, bei dem sich der rotierende Kreis so überlappt, dass ein innerer Teil, die Spindel, entsteht. Wenn die Schnittebenen auch diese Spindel schneiden, bestehen die spirischen Kurven aus einer äußeren und einer inneren Kurve.
Außerdem treten spirische Kurven als isoptische Kurven von Ellipsen und Hyperbeln auf. Eine isoptische Kurve ist eine Kurve, die zu einer gegebenen Kurve unter einem festen Blickwinkel gehört. Im Artikel wird nur festgehalten, dass die isoptischen Kurven von Ellipsen und Hyperbeln spirische Kurven sind.