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Satz von Gromov über polynomielles Wachstum
Der Satz besagt, dass das Wachstum einer endlich erzeugten Gruppe genau dann polynomiell ist, wenn die Gruppe fast-nilpotent ist. Der Satz wurde 1981 von Gromov …
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Kernaussage
Der Satz von Gromov über polynomielles Wachstum ist ein Lehrsatz der geometrischen Gruppentheorie. Er beschreibt einen grundlegenden Zusammenhang zwischen der Größe einer endlich erzeugten Gruppe und ihrer algebraischen Struktur:
Eine endlich erzeugte Gruppe hat genau dann polynomielles Wachstum, wenn sie fast-nilpotent ist.
„Polynomielles Wachstum“ bedeutet hier, dass die Anzahl der Gruppenelemente, die sich mit höchstens einer bestimmten Anzahl von Erzeugern darstellen lassen, höchstens wie ein Polynom in dieser Anzahl wächst. „Fast-nilpotent“ bedeutet, dass die Gruppe eine nilpotente Untergruppe von endlichem Index besitzt.
Bedeutung und Beweise
Die Aussage war seit den 1960er Jahren als Milnor-Wolf-Vermutung bekannt. Gromov bewies sie 1981 und bestätigte damit die Vermutung von Milnor und Wolf. Weitere Beweise stammen von Kleiner (2010), Shalom-Tao, Breuillard-Green-Tao und Ozawa.
Grundidee von Gromovs Beweis
Gromov betrachtete endlich erzeugte Gruppen mit ihrer Wortmetrik als metrische Räume. Die Wortmetrik misst, wie viele Erzeuger und ihre Inversen mindestens nötig sind, um von einem Gruppenelement zu einem anderen zu gelangen.
Er verwendete die für diesen Zweck entwickelte Gromov-Hausdorff-Metrik auf der Menge metrischer Räume. Mit einem Kompaktheitssatz zeigte er: Hat eine Gruppe polynomielles Wachstum, dann konvergiert eine Teilfolge von Reskalierungen ihrer Wortmetrik.
Der entstehende Grenzwert ist endlich-dimensional, lokal kompakt, zusammenhängend und lokal zusammenhängend. Außerdem wirkt seine Isometriegruppe transitiv, das heißt: Für je zwei Punkte gibt es eine abstandserhaltende Abbildung, die den einen auf den anderen abbildet.
Aus der Lösung von Hilberts fünftem Problem folgt, dass diese Isometriegruppe eine Lie-Gruppe mit endlich vielen Zusammenhangskomponenten sein muss. Nach der Tits-Alternative haben deren endlich erzeugte Untergruppen entweder exponentielles Wachstum oder sind fast-nilpotent. Daraus leitete Gromov die gewünschte Charakterisierung für Gruppen mit polynomiellem Wachstum ab.