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Ramanujan-Vermutung
Im mathematischen Gebiet der Modulformen ist die Ramanujan-Vermutung eine von Ramanujan vermutete und von Deligne bewiesene Abschätzung für die …
Gegenstand und Bedeutung
Die Ramanujan-Vermutung ist eine Abschätzung für Fourier-Koeffizienten der modularen Diskriminante. Sie wurde von Ramanujan vermutet und 1974 von Pierre Deligne als Konsequenz der von ihm bewiesenen Weil-Vermutungen bewiesen. Sie ist in der Theorie der Modulformen wichtig und hat Anwendungen unter anderem in Graphentheorie, Zahlentheorie, Darstellungstheorie und Theoretischer Informatik.
Es gibt verallgemeinerte Fassungen für andere Modulformen, die Ramanujan-Petersson-Vermutung.
Die tau-Funktion
Für z in der oberen Halbebene H = {z in C | Im z > 0} ist die Dedekindsche η-Funktion definiert durch η(z) = e^(πiz/12) ∏(n=1 bis ∞) (1 − e^(2πinz)). Die 24-te Potenz η(z)^24 heißt Diskriminante Δ(z).
Mit q = exp(2πiz) gilt Δ(z) = q ∏(n≥1)(1 − q^n)^24 = ∑(n≥1) τ(n)q^n. Die ganzzahligen Koeffizienten τ(n) dieser q-Entwicklung definieren die Ramanujansche tau-Funktion τ: N → Z. Die ersten Werte sind τ(1) = 1, τ(2) = −24, τ(3) = 252, τ(4) = −1472 und τ(5) = 4830.
Ramanujan vermutete zudem: Für teilerfremde m und n gilt τ(mn) = τ(m)τ(n). Für eine Primzahl p und r > 0 gilt τ(p^(r+1)) = τ(p)τ(p^r) − p^11τ(p^(r−1)). Louis Mordell bewies diese beiden Aussagen 1917. In der Theorie der Hecke-Operatoren sind die Werte der tau-Funktion Eigenwerte der Hecke-Operatoren für die Diskriminante.
Abschätzungen und Anwendungen
Die Ramanujan-Vermutung besagt für jede Primzahl p: |τ(p)| ≤ 2p^(11/2). Allgemeiner gilt für jede natürliche Zahl n: |τ(n)| ≤ d(n)n^(11/2), wobei d(n) die Anzahl der Teiler von n ist.
Für Spitzenformen vom Gewicht k zu Kongruenzuntergruppen der Modulgruppe lautet die analoge Ramanujan-Petersson-Vermutung |τ(p)| ≤ 2p^((k−1)/2); bei der Diskriminante ist k = 12. Auch diese Fassung bewies Deligne über die Weil-Vermutungen. Versionen für automorphe Formen im Langlands-Programm existieren ebenfalls; die Version für Maass-Formen ist unbewiesen.
Die Vermutung lässt sich als Abschätzung für Eigenwerte von Hecke-Operatoren oder als Aussage über die zu Δ assoziierte automorphe Darstellung formulieren. Lubotzky, Philips und Sarnak nutzten sie, um zu zeigen, dass bestimmte Quotienten von PGL(2,Q_p)/PGL(2,Z_p) Ramanujan-Graphen sind. Diese besitzen sehr gute Expander-Eigenschaften.