Phasenporträt

Grundidee und Bedeutung

Ein Phasenporträt (auch Phasenportrait oder Phasenraumporträt) veranschaulicht eine autonome Differentialgleichung und damit die zeitliche Entwicklung eines dynamischen Systems. Es erlaubt eine graphische, qualitative Analyse: Man benötigt nur die dynamischen Gleichungen, nicht jedoch eine explizite Lösung der Differentialgleichung.

Das Porträt zeigt Orbits, also die Bahnen möglicher Systemzustände, und Pfeile für die Entwicklungsrichtung in der Zeit. Daraus kann man einen ersten Eindruck vom globalen Verhalten gewinnen, etwa von der Existenz und Stabilität von Fixpunkten sowie periodischen Orbits. Da alle Orbits zusammen den gesamten Phasenraum bilden, zeichnet man zur Übersicht nur charakteristische Orbits. Sinnvoll darstellbar sind Phasenporträts meist in \mathbb{R} und \mathbb{R}^2.

Differentialgleichung und Richtungsfeld

Für ein System erster Ordnung betrachtet man

x'=f(x,y)

y'=g(x,y)

mit F=(f,g)\colon U\to\mathbb{R}^2 und U\subset\mathbb{R}^2. Für eine gesuchte Bahn (x(t),y(t)) ist ihre Ableitung durch

(x'(t),y'(t))=F(x(t),y(t))

ggegeben. Die Funktion F ordnet daher jedem Punkt des Definitionsbereichs eine Richtung beziehungsweise Steigung zu.

Diese Richtungen werden an den Punkten (x,y) als kurze Geradenstücke oder Pfeile F(x,y) eingezeichnet. Für ein Punktraster entsteht so ein Vektorfeld, das die Bewegungsrichtung im Phasenraum angibt.

Trajektorien ablesen und zeichnen

Die Lösungen des Systems sind Kurven, die an jedem Punkt tangential zu den Richtungen des Vektorfelds verlaufen. Sie heißen Bahnkurven oder Trajektorien; ihre Gesamtheit bildet das Phasenporträt.

Von einem Startpunkt aus folgt man den eingezeichneten Pfeilen zu weiteren Punkten. Auf diese Weise lassen sich typische Trajektorien ergänzen und das qualitative zeitliche Verhalten einschätzen. Bei einfachen Systemen können Vektorfeld und Beispieltrajektorien oft von Hand gezeichnet werden, bei komplexeren Systemen mithilfe von Computerprogrammen.

Beispiele aus den Abbildungen sind ein typischer hyperbolischer Fixpunkt, ein Sattelpunkt, sowie der van-der-Pol-Oszillator: Dort laufen alle Trajektorien auf einen Grenzzyklus zu; dies lässt sich mit Trajektorien innerhalb und außerhalb des Zyklus darstellen.