Petersson-Skalarprodukt

Bedeutung und Definition

Das Petersson-Skalarprodukt ist ein bestimmtes Skalarprodukt auf dem Vektorraum der ganzen Modulformen. Üblicherweise wird es für Spitzenformen definiert: Sei \mathbb{M}_k der Vektorraum der ganzen Modulformen vom Gewicht k und \mathbb{S}_k der Vektorraum der Spitzenformen. Dann ist

\langle\cdot,\cdot\rangle:\mathbb{S}_k\times\mathbb{S}_k\to\mathbb{C},

\langle f,g\rangle:=\int_{\mathrm F} f(\tau)\overline{g(\tau)}(\operatorname{Im}\tau)^k\,{\rm d}\nu(\tau)

das Petersson-Skalarprodukt. Es verknüpft also zwei Spitzenformen f und g durch ein Integral und liefert eine komplexe Zahl.

Integrationsbereich und Maß

Der Integrationsbereich ist der Fundamentalbereich der Modulgruppe \Gamma:

\mathrm F=\{\tau\in\mathrm H\mid |\operatorname{Re}\tau|\leq \tfrac12,\ |\tau|\geq1\}.

Für \tau=x+iy ist

{\rm d}\nu(\tau)=y^{-2}\,{\rm d}x\,{\rm d}y

das hyperbolische Volumenelement. In der Formel kommt außerdem der Faktor (\operatorname{Im}\tau)^k vor.

Formal kann in einer der beiden Komponenten auch eine ganze Modulform aus \mathbb{M}_k eingesetzt werden, weil das Integral weiterhin konvergiert. Ein Skalarprodukt muss jedoch beide Argumente aus demselben Vektorraum erhalten; deshalb wird es üblicherweise auf \mathbb{S}_k definiert.

Wichtige Eigenschaften

Das Integral ist absolut konvergent. Das Petersson-Skalarprodukt ist eine positiv definite Hermitesche Form. Positiv definit bedeutet insbesondere, dass das Skalarprodukt einer von null verschiedenen Form mit sich selbst positiv ist; hermitesch beschreibt die komplexe Symmetrie des Skalarprodukts.

Für die Hecke-Operatoren T_n gilt die Beziehung

\langle T_nf,g\rangle=\langle f,T_ng\rangle.

Daraus folgt, dass der Vektorraum der Spitzenformen eine Orthonormalbasis aus simultanen Eigenformen der Hecke-Operatoren besitzt. „Simultan“ bedeutet, dass jede dieser Formen Eigenform für alle Hecke-Operatoren ist. Außerdem sind die Fourier-Koeffizienten dieser Formen alle reell.