Kugelbedingung

Begriff und Bedeutung

Eine Kugelbedingung ist eine Eigenschaft einer Teilmenge Ω eines metrischen Raums, meist des ℝⁿ. Sie beschreibt, wie regelmäßig oder glatt der Rand ∂Ω der Menge ist: An jeden Randpunkt kann eine Kugel so angelegt werden, dass sie den Rand nur in diesem Punkt berührt. Liegt die Kugel innerhalb der Menge, handelt es sich um eine innere Kugelbedingung; liegt sie außerhalb, um eine äußere Kugelbedingung.

Kugelbedingungen werden unter anderem verwendet, um Voraussetzungen für die Lösbarkeit des Dirichlet-Problems mit der Poissongleichung zu formulieren.

Innere und äußere Kugelbedingung

Ω erfüllt in x₀ eine innere Kugelbedingung, wenn gilt:

∃ x ∈ Ω, ε > 0: Bₑ(x) ⊆ Ω̄ ∧ Bₑ(x) ∩ ∂Ω = {x₀}.

Das bedeutet: Es gibt einen Mittelpunkt x innerhalb von Ω und einen Radius ε > 0, sodass die Kugel Bₑ(x) vollständig in der abgeschlossenen Menge Ω̄ liegt und den Rand ∂Ω nur im Punkt x₀ trifft.

Ω erfüllt in x₀ eine äußere Kugelbedingung, wenn gilt:

∃ x ∈ Ωᶜ, ε > 0: Bₑ(x) ∩ Ω̄ = {x₀}.

Hier liegt der Mittelpunkt x im Komplement Ωᶜ, und die Kugel schneidet die abgeschlossene Menge Ω̄ nur im Randpunkt x₀. Bₑ(x) bezeichnet die Kugel um x mit Radius ε.

Gilt die jeweilige Eigenschaft für jeden Randpunkt x₀, so erfüllt Ω die Kugelbedingung. Kann in jedem Punkt derselbe Radius ε verwendet werden, ist die Kugelbedingung gleichmäßig erfüllt.

Beispiele und Folgen für den Rand

Das Vorliegen einer Kugelbedingung stellt eine gewisse Glattheit des Randes sicher. Bei einem Würfel erfüllen die Punkte auf den Kanten keine innere Kugelbedingung. Die inneren Flächenpunkte der Würfeloberfläche erfüllen zwar eine Kugelbedingung, aber nicht gleichmäßig: Je näher der betrachtete Punkt an eine Kante heranrückt, desto kleiner muss der verwendete Radius werden.

In der dargestellten Situation erfüllt Ω eine gleichmäßige äußere Kugelbedingung; dies folgt aus der Konvexität der Menge Ω. An spitzen Ecken wie x₁ liegt dagegen keine innere Kugelbedingung vor.