Kreuzweise Multiplikation

Grundidee und Einsatz

Die kreuzweise Multiplikation, auch Multiplikation über Kreuz, formt Gleichungen zwischen zwei Brüchen oder Bruchtermen so um, dass danach keine Brüche mehr vorkommen. Sie wird häufig bei Verhältnisgleichungen und Dreisatzaufgaben verwendet. Unter bestimmten Voraussetzungen lässt sie sich auch bei Ungleichungen anwenden.

Regel

Für die Bruchgleichung

\frac{a}{b}=\frac{c}{d}

müssen die Nenner ungleich null sein: b\neq0 und d\neq0. Multipliziert man die Gleichung mit beiden Nennern, erhält man die äquivalente Gleichung

ad=bc.

Dabei werden jeweils Zähler und gegenüberliegender Nenner miteinander multipliziert. Die Verbindung dieser Faktoren kann man als Kreuz darstellen; daher heißt das Verfahren „über Kreuz multiplizieren“.

Beispiel

Gegeben ist

\frac{x}{2x-2}=\frac{2x+3}{4x}.

Für x gelten Einschränkungen: Wegen einer möglichen Division durch null darf x weder 1 noch 0 sein. Durch kreuzweise Multiplikation folgt

4x^2=(2x-2)(2x+3).

Nach dem Ausmultiplizieren der rechten Seite und weiteren Termumformungen ist die Lösung x=3.