Koeffizienten für Differenzenquotienten

Grundidee und Begriffe

Koeffizienten für Differenzenquotienten werden in der Differenzenrechnung, besonders bei der Finite-Differenzen-Methode, verwendet. Sie ermöglichen es, die Ableitung einer eindimensionalen Funktion an einer vorgegebenen Stützstelle oder einem Gitterpunkt näherungsweise aus Funktionswerten an mehreren Gitterpunkten zu berechnen. Die Koeffizienten stehen im Zähler des Differenzenquotienten. Im Allgemeinen wird die Näherung genauer, wenn mehr benachbarte Stützstellen berücksichtigt werden.

Der Artikel behandelt äquidistante Stützstellen, also Gitterpunkte mit konstantem Abstand h_x. Ihre Positionen werden durch x_n=x_0+n h_x beschrieben. Der Differenzenquotient für die m-te Ableitung wird durch h_x^m geteilt.

Bei zentralen Differenzen werden links und rechts von x_0 gleich viele Nachbarpunkte verwendet. Vorwärts-Differenzen beziehen nur Punkte mit größeren Abszissenwerten als x_0 ein, Rückwärts-Differenzen nur Punkte mit kleineren Abszissenwerten. Daneben sind gemischte Schemata möglich, beispielsweise drei linke und ein rechter Nachbar.

Die Genauigkeitsangabe O(h_x^n) beschreibt den Diskretisierungsfehler. Sie bedeutet, dass der führende Fehler für kleine Schrittweiten wie h_x^n abnimmt. Bei O(h_x^2) fällt er beispielsweise quadratisch mit h_x.

Zentrale Näherungen

Die angegebenen zentralen Schemata decken die erste und zweite Ableitung mit Genauigkeiten zweiter, vierter, sechster und achter Ordnung sowie die dritte bis sechste Ableitung mit Genauigkeiten bis zur sechsten Ordnung ab. Die Koeffizienten gerader Ableitungen sind spiegelbildlich gleich, während sie bei ungeraden Ableitungen beim Spiegeln ihr Vorzeichen wechseln.

Ein einfaches Drei-Punkte-Schema für die erste Ableitung mit Genauigkeit zweiter Ordnung verwendet die Koeffizienten −1/2, 0 und 1/2 an den Positionen −1, 0 und 1. Für die zweite Ableitung gleicher Genauigkeit lauten sie 1, −2 und 1. Mit steigender Genauigkeitsordnung werden mehr Stützstellen benötigt; beispielsweise verwendet die erste Ableitung achter Ordnung die Koeffizienten 1/280, −4/105, 1/5, −4/5, 0, 4/5, −1/5, 4/105 und −1/280 an den Positionen −4 bis 4.

Für die dritte Ableitung mit Genauigkeit zweiter Ordnung gilt als Beispiel:

f'''(x_0) ≈ [−(1/2)f(x_{−2})+f(x_{−1})−f(x_1)+(1/2)f(x_2)]/h_x^3+O(h_x^2).

Für die m-te Ableitung mit Genauigkeit n gibt es

2p+1=2⌊(m+1)/2⌋−1+n

zentrale Koeffizienten a_{−p},a_{−p+1},…,a_{p−1},a_p. Sie werden durch ein lineares Gleichungssystem bestimmt: Seine Spalten gehören zu den Positionen −p bis p, seine Zeilen enthalten deren Potenzen von 0 bis 2p. Auf der rechten Seite stehen nur Nullen, ausgenommen den Wert m! in der (m+1)-ten Zeile. Dadurch werden die Taylor-Terme so kombiniert, dass der Term der m-ten Ableitung erhalten bleibt und die anderen erforderlichen Terme verschwinden. Mit dem Open-Source-Programm findiff lassen sich Koeffizienten beliebiger Ableitungen und Genauigkeitsordnungen in einer Dimension berechnen.

Vorwärtsnäherungen

Vorwärts-Differenzen verwenden x_0 und nach rechts folgende Punkte x_1,x_2,… . Die Tabelle enthält Koeffizienten für die erste bis vierte Ableitung und mehrere Genauigkeitsordnungen. Mit einer höheren Genauigkeitsordnung steigt die Anzahl der benötigten Funktionswerte.

Für die erste Ableitung reichen bei Genauigkeit erster Ordnung die Koeffizienten −1 und 1 an x_0 und x_1. Bei Genauigkeit zweiter Ordnung lauten sie −3/2, 2 und −1/2. Für Genauigkeit dritter Ordnung ergibt sich:

f'(x_0) ≈ [−(11/6)f(x_0)+3f(x_1)−(3/2)f(x_2)+(1/3)f(x_3)]/h_x+O(h_x^3).

Für die zweite Ableitung mit Genauigkeit zweiter Ordnung gilt:

f''(x_0) ≈ [2f(x_0)−5f(x_1)+4f(x_2)−f(x_3)]/h_x^2+O(h_x^2).

Weitere tabellierte Schemata reichen bei der ersten und zweiten Ableitung bis zur Genauigkeit sechster Ordnung, bei der dritten Ableitung ebenfalls bis zur sechsten und bei der vierten Ableitung bis zur fünften Ordnung. Beispielsweise verwendet die zweite Ableitung erster Ordnung die Koeffizienten 1, −2, 1; die vierte Ableitung erster Ordnung verwendet 1, −4, 6, −4, 1.

Rückwärtsnäherungen

Rückwärts-Differenzen verwenden x_0 und links davon liegende Punkte x_{−1},x_{−2},… . Die entsprechenden Beispiele zu den Vorwärtsformeln sind:

f'(x_0) ≈ [−(1/3)f(x_{−3})+(3/2)f(x_{−2})−3f(x_{−1})+(11/6)f(x_0)]/h_x+O(h_x^3),

f''(x_0) ≈ [−f(x_{−3})+4f(x_{−2})−5f(x_{−1})+2f(x_0)]/h_x^2+O(h_x^2).

Die Rückwärtskoeffizienten können aus den Vorwärtskoeffizienten gewonnen werden. Dazu wird die Reihenfolge entsprechend den gespiegelten Gitterpositionen betrachtet. Für alle ungeraden Ableitungen werden außerdem die entgegengesetzten Vorzeichen gesetzt; bei geraden Ableitungen bleiben die Vorzeichen gleich. So lauten beispielsweise die Koeffizienten der rückwärts gerichteten ersten Ableitung mit Genauigkeit zweiter Ordnung an den Positionen −2, −1 und 0: 1/2, −2 und 3/2. Für die rückwärts gerichtete zweite Ableitung derselben Genauigkeit sind es an den Positionen −3 bis 0: −1, 4, −5 und 2.

Beliebige Stützstellenschemata

Auch unsymmetrische oder gemischte Stützstellenschemata können systematisch behandelt werden. Sei s=[s_1,…,s_N] ein beliebiges Schema aus N Gitterpositionen und d<N die Ordnung der gesuchten Ableitung. Die Koeffizienten a_1,…,a_N erhält man aus einem linearen Gleichungssystem. Die Matrix enthält in Zeile i+1 die Potenzen s_1^i,…,s_N^i für i=0,…,N−1. Die rechte Seite ist d! mal ein Vektor aus Kronecker-Deltas δ_{i,d}. Das Kronecker-Delta ist 1, wenn i=d gilt, und sonst 0.

Für s=[−3,−2,−1,0,1], N=5 und d=4 ergibt die Lösung

(a_1,a_2,a_3,a_4,a_5)=(1,−4,6,−4,1).

Die rechte Seite des Gleichungssystems lautet dabei (0,0,0,0,24), weil 4!=24 ist. Die Genauigkeitsordnung einer auf diese Weise gebildeten Näherung hat die übliche Form O(h_x^(N−d)). Im Beispiel ist N−d=1. Das allgemeine Verfahren umfasst zentrale, vorwärts gerichtete, rückwärts gerichtete und gemischte Schemata als unterschiedliche Auswahlen der Gitterpositionen.