Kartoffelparadoxon

Kernidee

Das Kartoffelparadoxon ist eine Rätselaufgabe über Prozentrechnung. Es zeigt, wie leicht man bei Anteilen von Wasser und Trockenmasse falsche Schlüsse zieht, wenn sich die Bezugsgröße ändert. Es ist kein echtes mathematisches Paradoxon im Sinne eines Widerspruchs, sondern eine überraschende Aufgabe mit Pointe.

Die typische Aufgabe lautet: 100 Kilogramm Kartoffeln bestehen zu 99 Prozent aus Wasser. Nach dem Trocknen bestehen sie nur noch zu 98 Prozent aus Wasser, die Trockenmasse bleibt unverändert. Gesucht ist das neue Gewicht. Die überraschende Lösung ist: Die Kartoffeln wiegen nur noch 50 Kilogramm. Davon sind 49 Kilogramm Wasser und 1 Kilogramm Trockenmasse.

Rechnung mit den Massen

Vor der Trocknung beträgt die Gesamtmasse M₁ = 100 kg. Da die Kartoffeln zu 99 % aus Wasser bestehen, beträgt die Trockenmasse 1 % von M₁, also 1 kg.

Nach der Trocknung beträgt der Wasseranteil 98 %. Damit beträgt die Trockenmasse 2 % der neuen Gesamtmasse M₂. Die Trockenmasse hat sich aber nicht verändert. Deshalb gilt:

1 % · M₁ = 2 % · M₂

Daraus folgt:

M₂ = 1/2 · M₁

Die neue Gesamtmasse ist also die Hälfte der ursprünglichen Masse, also 50 kg. Die Kontrollrechnung passt: 2 % von 50 kg sind 1 kg Trockenmasse, und 98 % von 50 kg sind 49 kg Wasser.

Gleichung mit Wasser und Trockenmasse

Man kann die Aufgabe auch mit einer Gleichung lösen. W bezeichnet die Masse des Wassers, T die Trockenmasse. Der Wasseranteil an der Gesamtmasse ist W/(W+T).

Die Trockenmasse bleibt vor und nach dem Verdunsten gleich und beträgt T = 1 kg. Nach dem Verdunsten beträgt der Wasseranteil 98 %, also 0,98. Daher gilt:

W/(W+1) = 0,98

Löst man diese Gleichung nach W auf, erhält man W = 49 kg. Zusammen mit der Trockenmasse ergibt sich die Gesamtmasse 49 kg + 1 kg = 50 kg.

Anschaulich mit Teilen

Statt mit Prozenten kann man mit Teilen rechnen. Am Anfang bestehen 100 Teile aus 99 Teilen Wasser und 1 Teil Trockenmasse. Wenn nur 1 Teil Wasser verdunstet, bleiben 98 Teile Wasser und 1 Teil Trockenmasse, also 99 Teile insgesamt. Der Wasseranteil ist dann nicht 98 %, sondern rund 98,99 %.

Erst wenn 50 Teile Wasser verdunstet sind, bleiben 49 Teile Wasser und 1 Teil Trockenmasse, also 50 Teile insgesamt. Dann beträgt der Wasseranteil genau 98 %, und die Trockenmasse macht 2 % aus. Die Tabelle im Artikel zeigt diesen langsamen Übergang: Bei 99 Wasserteilen und 1 Trockenmasse-Teil sind es 99 % Wasser; bei 98 und 1 sind es 98,9898… %; bei 50 und 1 sind es noch 98,03921569 %; erst bei 49 und 1 sind es genau 98 %.

Typischer Denkfehler

Der häufige Fehlschluss besteht darin, den Rückgang von 99 % auf 98 % so zu behandeln, als sei einfach 1 kg Wasser verschwunden. Dann käme man fälschlich auf 99 kg Gesamtgewicht.

Dieser Gedanke wäre nur dann richtig, wenn gemeint wäre: Der Wassergehalt beträgt nach dem Trocknen 98 % der ursprünglichen Gesamtmasse. In der Aufgabe ist aber etwas anderes gemeint: Nach dem Trocknen sind 98 % der neuen Gesamtmasse Wasser. Weil die Trockenmasse unverändert bleibt, steigt ihr Anteil von 1 % auf 2 %. Das bedeutet, dass sich ihr Anteil an der Gesamtmasse verdoppelt, also muss sich die Gesamtmasse halbieren.

Eine weniger irreführende Formulierung wäre: Die Kartoffeln trocknen so weit ein, dass sich das Verhältnis der Trockenmasse zum Gesamtgewicht verdoppelt.

Realistische Einordnung

Die Zahlen der Rätselaufgabe sind kontrafaktisch, also nicht realistisch für echte Kartoffeln. Rohe Kartoffeln mit Fruchtfleisch und Schale enthalten tatsächlich etwa 80 Prozent Wasser. Nach sechsmonatiger Lagerung verlieren sie zwischen 6 und 15 Prozent ihres Ausgangsgewichts. Das entspricht einer Verdunstung von 7,2 bis 18 Prozent des ursprünglichen Wassergehalts.

Das Rätsel wird auch mit anderen wasserreichen Lebensmitteln formuliert, zum Beispiel mit Wassermelonen. Diese enthalten über 91,45 Prozent Wasser. Wintermelonen enthalten 96,10 Prozent Wasser, Gurken ungeschält 95,23 Prozent und Gurken geschält 96,73 Prozent.