Interquartilsabstand (deskriptive Statistik)

Bedeutung und Zweck

Der Interquartilsabstand, kurz Quartilsabstand, ist ein Streuungsmaß der deskriptiven Statistik. Er wird mit IQA oder IQR (englisch: interquartile range) abgekürzt. Der IQA beschreibt, wie breit das Intervall ist, in dem die mittleren 50 % der Elemente einer Stichprobe liegen.

Dazu muss die Stichprobe zunächst der Größe nach sortiert werden. Der Interquartilsabstand wird anschließend als Differenz zwischen dem oberen und dem unteren Quartil berechnet. Er zeigt damit die Streuung der zentral gelegenen Hälfte der Daten.

Definition und Berechnung

Gegeben sei eine sortierte Stichprobe x₁, x₂, …, xₙ mit n Elementen. Es gilt:

x₁ ≤ x₂ ≤ … ≤ xₙ.

Das untere Quartil x₀,₂₅ und das obere Quartil x₀,₇₅ werden nach folgenden Regeln bestimmt:

• Ist n · 0,25 ganzzahlig, gilt x₀,₂₅ = ½(xₙ·₀,₂₅ + xₙ·₀,₂₅₊₁). Ist n · 0,25 nicht ganzzahlig, gilt x₀,₂₅ = x⌊n·₀,₂₅₊₁⌋.
• Ist n · 0,75 ganzzahlig, gilt x₀,₇₅ = ½(xₙ·₀,₇₅ + xₙ·₀,₇₅₊₁). Ist n · 0,75 nicht ganzzahlig, gilt x₀,₇₅ = x⌊n·₀,₇₅₊₁⌋.

Dabei bezeichnet ⌊x⌋ die Abrundungsfunktion. Sie rundet jede Zahl x auf die nächste ganze Zahl ab, zum Beispiel ⌊1,2⌋ = 1 und ⌊3,99⌋ = 3.

Der Interquartilsabstand ist definiert durch:

IQA = x₀,₇₅ − x₀,₂₅.

Beispielrechnung

Gegeben ist die Stichprobe 25; 28; 4; 28; 19; 3; 9; 17; 29; 29 mit n = 10 Elementen. Nach dem Sortieren erhält man:

3; 4; 9; 17; 19; 25; 28; 28; 29; 29.

Für das untere Quartil gilt n · 0,25 = 2,5. Dieser Wert ist nicht ganzzahlig. Deshalb wird die entsprechende Regel angewendet:

x₀,₂₅ = x⌊2,5 + 1⌋ = x⌊3,5⌋ = x₃ = 9.

Für das obere Quartil gilt n · 0,75 = 7,5. Daher folgt:

x₀,₇₅ = x⌊7,5 + 1⌋ = x⌊8,5⌋ = x₈ = 28.

Damit beträgt der Interquartilsabstand:

IQA = x₀,₇₅ − x₀,₂₅ = 28 − 9 = 19.

Mittlerer Quartilsabstand

Aufbauend auf dem Interquartilsabstand wird der mittlere Quartilsabstand definiert. Er wird mit MQA oder QD (englisch: quartile deviation) abgekürzt.

Der mittlere Quartilsabstand ist die Hälfte des Interquartilsabstands:

MQA = ½ · IQA = ½(x₀,₇₅ − x₀,₂₅).

Im Beispiel ergibt sich:

MQA = ½ · 19 = 9,5.