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Homotopie-Quotient
In der Mathematik ist der Homotopie-Quotient ein Begriff aus der algebraischen Topologie. Er erlaubt eine homotopie-invariante Definition der Quotienten von …
Begriff und Definition
Der Homotopie-Quotient ist ein Begriff der algebraischen Topologie. Er ermöglicht eine homotopie-invariante Definition des Quotienten einer Gruppenwirkung und dient dadurch zur Definition von Homotopieinvarianten von Gruppenwirkungen, etwa der äquivarianten Kohomologie.
Wirkt eine Gruppe G auf einem Raum X, so bezeichnet man mit X//G den Homotopietyp des Quotienten (X × EG)/G. Dabei ist EG ein zusammenziehbarer Raum mit einer freien G-Wirkung. „Zusammenziehbar“ bedeutet, dass der Raum homotopisch auf einen Punkt reduziert werden kann; „frei“ bedeutet, dass kein von G verschiedenes Gruppenelement einen Punkt von EG festlässt.
Der Homotopietyp von X//G hängt nicht davon ab, welchen zusammenziehbaren Raum EG mit freier G-Wirkung man wählt. Als mögliches Modell für EG kann die geometrische Realisierung eines Simplizialkomplexes verwendet werden, dessen n-Simplizes den Tupeln in G^(n+1) entsprechen.
Bei einer freien Wirkung ist der Homotopie-Quotient X//G homotopie-äquivalent zum gewöhnlichen Quotienten X/G. Bei nicht freien Wirkungen gilt diese Übereinstimmung im Allgemeinen nicht.