Getrimmter Mittelwert

Bedeutung und Grundidee

Der (α-)getrimmte Mittelwert, auch getrimmtes oder gestutztes Mittel, ist ein Lageparameter der deskriptiven Statistik. Er beschreibt also, wo sich die Werte einer Stichprobe typischerweise befinden.

Er ähnelt dem arithmetischen Mittel. Vor der Berechnung werden jedoch ein bestimmter Anteil der kleinsten und ein gleich großer Anteil der größten Stichprobenwerte weggelassen. Dadurch ist er robuster als das arithmetische Mittel: Änderungen einzelner sehr kleiner oder sehr großer Werte beeinflussen ihn weniger.

Berechnung

Für eine Stichprobe x=(x₁;x₂;…;xₙ) mit n Elementen wird zunächst die sortierte Stichprobe x_sort=(x_(1);x_(2);…;x_(n)) gebildet. Dabei ist x_(1) der kleinste und x_(n) der größte Wert.

Man wählt α mit α∈(0,1/2) und berechnet k=⌊α·n⌋. Das Zeichen ⌊·⌋ steht für die Abrundungsfunktion: Sie ordnet einer Zahl die nächstkleinere oder gleiche ganze Zahl zu, zum Beispiel ⌊1,8⌋=1 und ⌊3,1⌋=3.

Der α-getrimmte Mittelwert lautet:

x_(t;α)=1/(n−2k) · ∑(i=k+1)^(n−k) x(i)

Es werden also k kleinste und k größte Werte nicht berücksichtigt. Insgesamt bleiben damit 2α der Stichprobenelemente beziehungsweise 200α % außerhalb der Berechnung: α am unteren und α am oberen Ende. Übliche Werte für α liegen zwischen 0,1 und 0,2.

Beispiel und Ausreißer

Gegeben ist die Stichprobe x=(5;30;29;15;25;5;13;28;24;29) mit n=10. Sortiert lautet sie:

x_sort=(5;5;13;15;24;25;28;29;29;30).

Für α=0,1 gilt k=⌊0,1·10⌋=1. Der kleinste und der größte Wert werden daher weggelassen. Es bleibt:

x_(t;0,1)=1/8·(5+13+15+24+25+28+29+29)=168/8=21.

Der größte Wert könnte durch einen beliebigen anderen Wert ersetzt werden, ohne das 0,1-getrimmte Mittel zu ändern, weil er nicht mitgerechnet wird. Allgemein beeinflussen Ausreißer nach oben oder unten das α-getrimmte Mittel nur, wenn ihr Anteil in der Stichprobe größer als α ist.