Fehlerbalken

Grundidee

Fehlerbalken werden in Diagrammen mit numerischen Daten verwendet. Sie zeigen, wie stark Messwerte aufgrund systematischer oder statistischer Fehler vom tatsächlichen Wert einer Messgröße abweichen können. Dadurch machen sie Unsicherheit sichtbar: Ein einzelner dargestellter Wert, oft ein Mittelwert, wird nicht als völlig exakt verstanden, sondern zusammen mit einem möglichen Bereich um diesen Wert.

Darstellung um den Mittelwert

Meist werden Fehlerbalken um einen Mittelwert von Messwerten dargestellt. Das Intervall reicht dann von [{\bar{x}} - c · s; {\bar{x}} + c · s]. Die Länge des Intervalls beträgt 2cs.

Dabei ist {\bar{x}} der Mittelwert, s ein Maß für Streuung oder Unsicherheit, und c ein Faktor, mit dem die Breite des Fehlerbalkens festgelegt wird.

Standardabweichung und Standardfehler

Für s kann die Stichprobenstandardabweichung verwendet werden. Die Stichprobenstandardabweichung beschreibt, wie stark die einzelnen Werte einer Stichprobe um ihren Mittelwert streuen. In diesem Fall visualisiert der Fehlerbalken die Lage und Streuung der Stichprobe. Wenn die Daten approximativ normalverteilt sind, liegen bei c = 1 ungefähr 68 % der Daten und bei c = 2 ungefähr 95 % der Daten im Fehlerbalkenintervall.

Für s kann auch der Standardfehler des Mittelwerts verwendet werden. Er ergibt sich aus der Stichprobenstandardabweichung dividiert durch die Wurzel des Stichprobenumfanges. Dann zeigt der Fehlerbalken ein Schätzintervall der Mittelwerte. Dabei geht es darum, wo der wahre Mittelwert der Grundgesamtheit liegt beziehungsweise wie genau man ihn messen kann. Bei c = 1 enthält das Fehlerbalkenintervall beziehungsweise Schätzintervall in ungefähr 68 % der Fälle den wahren Mittelwert der Grundgesamtheit, bei c = 2 in ungefähr 95 % der Fälle.

Beispiel Ruhepuls

Ein Fehlerbalkendiagramm zum Ruhepuls bei unterschiedlicher sportlicher Betätigung zeigt den Mittelwert und das dazugehörige Schätzintervall für Gruppen mit seltener, einmal alle 14 Tage, wöchentlicher oder mehr als einmal wöchentlicher sportlicher Betätigung.

Aus dem Diagramm ist zu erkennen, dass der durchschnittliche Ruhepuls abnimmt, je mehr man sich sportlich betätigt. Weil Schätzintervalle für den Mittelwert dargestellt sind und sich die Fehlerbalken der ersten und letzten Gruppe nicht überlappen, ist dies ein erster Hinweis darauf, dass in einem Test die Nullhypothese der Gleichheit der Mittelwerte in allen Gruppen abgelehnt wird. Als mögliche Verfahren werden Varianzanalyse oder nichtparametrische Äquivalente genannt.