Exponentielle Glättung

Grundidee und Einsatz

Die exponentielle Glättung ist ein Verfahren der Zeitreihenanalyse. Eine Zeitreihe ist eine Folge von Messwerten, die nacheinander zu bestimmten Zeitpunkten beobachtet werden. Das Verfahren dient vor allem zur kurzfristigen Prognose aus periodischen Vergangenheitsdaten. Dabei erhalten neuere Werte ein höheres Gewicht als ältere Werte. So wird berücksichtigt, dass aktuelle Beobachtungen meist wichtiger für die nächste Vorhersage sind, während der Einfluss weit zurückliegender Werte immer schwächer wird.

Das Verfahren wird besonders verwendet, wenn eine Zeitreihe kein klares systematisches Muster zeigt, also zum Beispiel keinen erkennbaren linearen Anstieg. Typische Anwendungen liegen in der Bedarfs-, Bestands- und Bestellrechnung, etwa in der Lagerhaltung. Dort kann man abschätzen, wie groß der Bedarf eines Artikels in einer kommenden Periode sein wird. Voraussetzung ist eine geeignete Datenbasis mit Messwerten, zum Beispiel aus Marktanalysen.

Die Grundidee lautet: Der gegenwärtige Zeitreihenwert wird auch von vergangenen Werten beeinflusst, aber dieser Einfluss nimmt mit zunehmendem Alter ab. Einzelne starke Ausschläge werden durch die Gewichtung mit einem Glättungsfaktor auf die geschätzte Zeitreihe verteilt.

Formales Modell

Gegeben ist eine Zeitreihe mit Beobachtungen y₁, y₂, …, yₜ, … zu Zeitpunkten t ∈ ℕ. Für einen Zeitpunkt t wird ein geglätteter Schätzwert yₜ* berechnet. Dieser ist ein gewichteter Durchschnitt aus dem aktuellen Zeitreihenwert yₜ und dem geglätteten Schätzwert der Vorperiode yₜ₋₁*.

Die zentrale Formel lautet: yₜ* = α · yₜ + (1 − α) · yₜ₋₁*.

Der Glättungsfaktor α muss zwischen 0 und 1 liegen, also 0 ≤ α ≤ 1. Für α = 1 ist der Vorhersagewert gleich dem Messwert; es findet keine Glättung statt. Für α = 0 bleibt die Vorhersage unverändert; die geglättete Reihe wird zu einer Parallelen zur x-Achse.

Die Berechnung ist rekursiv. Das bedeutet, dass jeder neue geglättete Wert aus dem aktuellen Messwert und dem vorherigen geglätteten Wert entsteht. In der Praxis legt man einen Startwert y₀* fest und berechnet von dort aus weiter: y₁* = αy₁ + (1 − α)y₀*, y₂* = αy₂ + (1 − α)y₁*, y₃* = αy₃ + (1 − α)y₂*.

Wenn man diese Rekursion auflöst, erhält man: yₜ* = αyₜ + α(1 − α)yₜ₋₁ + α(1 − α)²yₜ₋₂ + … + α(1 − α)ᵗ⁻¹y₁ + (1 − α)ᵗy₀*.

Daran sieht man, dass die Einflüsse älterer Werte immer kleiner werden, weil α < 1 gilt. α wird deshalb auch Gegenwartsfaktor genannt. Je größer α ist, desto stärker werden aktuellere Werte berücksichtigt. Der Schätzwert yₜ* liefert den Prognosewert für den Zeitpunkt t + 1.

DAX-Beispiel

Ein Beispiel verwendet die monatlichen Durchschnittswerte des Aktienindex DAX von Januar 1977 bis August 1978. Als Startwert y₀* wird der erste Wert 512,3 genommen. Der Glättungsfaktor beträgt α = 0,3.

Für Februar 1977 mit dem DAX-Wert 496,2 ergibt sich: y₁* = 0,3 · 496,2 + 0,7 · 512,3 = 507,5.

Für März 1977 mit dem DAX-Wert 509,8 ergibt sich: y₂* = 0,3 · 509,8 + 0,7 · 507,5 = 508,2.

Für April 1977 mit dem DAX-Wert 551,9 ergibt sich: y₃* = 0,3 · 551,9 + 0,7 · 508,2 = 521,3.

Die Schätzung y₁* ist der Prognosewert für die Periode 2, und entsprechend werden die folgenden geglätteten Werte als Prognosen für die jeweils nächste Periode verwendet. In der vollständigen Tabelle steigen die geglätteten Werte von 512,3 im Januar 1977 bis 565,2 im August 1978.

Das Beispiel vergleicht auch α = 0,3 und α = 0,7. Ein kleinerer Glättungsfaktor glättet stärker, weil der aktuelle Wert nur mit dem Gewicht 0,3 eingeht, während frühere geglättete Werte mit 0,7 weiter berücksichtigt werden. Ein größerer Glättungsfaktor reagiert stärker auf aktuelle Veränderungen.

Grenzen und Varianten

Die einfache exponentielle Glättung eignet sich besonders, wenn Zeitreihenwerte unregelmäßig wirken und keine klare Systematik zeigen. Wenn die Beobachtungen aber einen Trend enthalten, also laufend steigen oder fallen, können die geglätteten Werte hinterherhinken. Im DAX-Beispiel liegen zwischen t = 7 und t = 12 die Schätzwerte systematisch unter den beobachteten Werten. Für solche Fälle kann die doppelte exponentielle Glättung verwendet werden.

Man unterscheidet exponentielle Glättung 1. Ordnung, 2. Ordnung und 3. Ordnung. Die im Artikel hauptsächlich beschriebene Form ist die exponentielle Glättung 1. Ordnung. Die Variante 2. Ordnung berücksichtigt einen Trend in der Zeitreihe.

Eigenschaften der Berechnung

Ein Vorteil der exponentiellen Glättung ist der geringe Rechen- und Speicheraufwand. Die Berechnung kann auch in der Form yₜ* = α · (yₜ − yₜ₋₁*) + yₜ₋₁* geschrieben werden. Dafür benötigt man jeweils nur eine Multiplikation, eine Addition, eine Subtraktion und einen gespeicherten Wert, nämlich yₜ₋₁*. Deshalb ist diese Filterung für eingebettete Systeme mit wenig Speicher und Rechenleistung interessant.

Bei einer gaußverteilten Eingangsgröße nimmt die Streuung bei einem einfachen gleitenden Mittelwert über N Werte mit 1/√N ab. Die gleiche Dämpfung der Streuung erhält man bei exponentieller Glättung mit α = 2/(N + 1).

Bestandsmanagement

Im Bestandsmanagement kann die exponentielle Glättung als heuristische Alternative zu komplexen Zeitreihenanalysen genutzt werden. Heuristisch bedeutet hier: Es handelt sich um ein praktisch verwendbares Näherungsverfahren. Dabei wird der Prognosewert yₜ* einer Periode mit dem realen Wert abgeglichen. Parallel kann auch die geglättete Varianz der Schätzung bestimmt werden. Die Varianz beschreibt die Streuung der Werte.

Die Berechnung kann basierend auf Welford's Online-Algorithmus erfolgen: d = yₜ − yₜ₋₁*, yₜ* = (1 − α) · yₜ₋₁* + α · d, σₜ² = (1 − α) · (σₜ₋₁² + α · d²).

Dabei ist d die Abweichung zwischen Prognosewert und realem Wert. σₜ² ist die Varianz in Periode t. Als Startwerte werden σ₀ = 0 und y₀* = y₀ gesetzt.

Mit diesen Informationen kann im Bestandsmanagement ein optimaler Lagerbestand y_opt abgeschätzt werden, damit während der Zeit t_lead zwischen zwei Bestell- bzw. Produktionszyklen Lieferfähigkeit besteht: y_opt = yₜ* · t_lead + z(s) · √(σₜ² · t_lead).

Der erste Summand beschreibt den durchschnittlichen Bedarf. Der zweite Summand ergänzt einen Sicherheitsbestand, um zwischenzeitliche Schwankungen aufzufangen. z(s) ist ein Sicherheitsfaktor, der vom Service Level s abhängt.