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Euler-Gleichung des Konsums
Die Euler-Gleichung des Konsums beschreibt die optimale intertemporale Konsum-Allokation eines nutzenmaximierenden Haushalts. Die Gleichung ist u. a. ein …
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Kernidee und Bedeutung
Die Euler-Gleichung des Konsums beschreibt, wie ein nutzenmaximierender Haushalt seinen Konsum optimal auf verschiedene Zeitperioden verteilt. Sie berücksichtigt eine positive Zeitpräferenz: Konsum in der Gegenwart wird gegenüber gleich hohem Konsum in der Zukunft bevorzugt. Die Gleichung ist ein Kernbestandteil optimaler Lösungen in dynamischen makroökonomischen Modellen.
Nutzenmaximierung und Nebenbedingungen
Ein repräsentativer Haushalt maximiert eine intertemporale Nutzenfunktion, also den über mehrere Zeitpunkte betrachteten Gesamtnutzen. Eine mögliche Wertfunktion lautet:
V_t = ∑{s=0}^{∞} β^s U(C{t,s}).
Dabei ist U die Nutzenfunktion und β der Diskontfaktor, mit dem zukünftiger Nutzen geringer gewichtet wird. Es gelten ein positiver, aber abnehmender Grenznutzen U′(c)>0 und U″(c)<0 sowie 0<β<1/(1+θ)<1. Positiver Grenznutzen bedeutet, dass zusätzlicher Konsum den Nutzen erhöht; abnehmender Grenznutzen bedeutet, dass dieser zusätzliche Nutzen mit steigendem Konsum kleiner wird.
Der Haushalt muss außerdem die Budgetrestriktion
Δa_{t+s+1}+c_{t+s}=x_{t+s}+r_{t+s}a_{t+s}
einhalten. Hier bezeichnet t die jeweilige Periode, s einen Index, a_t das Nettovermögen, x_t das Haushaltseinkommen und r_t den Zinssatz auf das Finanzvermögen. Das Problem kann mit dynamischer Programmierung, Variationsrechnung, dem Maximumprinzip von Pontrjagin oder – weil kein stochastisches Problem vorliegt – mit dem einfacheren Verfahren der Lagrange-Multiplikatoren gelöst werden.
Euler-Gleichung im Zwei-Perioden-Fall
Im vereinfachten Zwei-Perioden-Fall mit t=0 und s=[0,1] wird untersucht, um wie viel der Konsum in der nächsten Periode steigt, wenn der aktuelle Konsum um einen kleinen Betrag dc_t sinkt und der Gesamtwert V_t dabei unverändert bleibt. Die Euler-Gleichung lautet:
β · [U′(c_2)/U′(c_1)] · (1+r_2)=1.
Sie setzt den Nutzenverlust durch den Verzicht auf eine zusätzliche Konsumeinheit in der ersten Periode mit dem diskontierten Nutzengewinn aus dem verzinsten zusätzlichen Konsum in der zweiten Periode in Beziehung. Für die vereinfachte Lösung werden Transversalitätsbedingungen angenommen: Vor der ersten Periode wurde beispielsweise kein Vermögen übertragen, und nach der letzten Periode bestehen weder Vermögen noch Schulden. Zudem kann der Zinssatz in beiden Perioden als identisch angenommen werden.
Grafische Interpretation
Die optimale Lösung (c_t*, c_{t+1}*) liegt am Tangentialpunkt zwischen der Wertfunktion V_t und der intertemporalen Ressourcenbeschränkung. Die Achsenschnittpunkte der Ressourcenbeschränkung zeigen die jeweils maximal möglichen Konsummengen.
Am Schnittpunkt mit der Abszisse ist c_t maximal: In der Folgeperiode wird nichts konsumiert, weil das gesamte zukünftige Einkommen bereits in der Gegenwart ausgegeben wird. Dies erfolgt durch Kreditaufnahme, die in der nächsten Periode zurückgezahlt wird. Am Ordinatenschnittpunkt wird dagegen in der ersten Periode alles gespart; in der zweiten Periode werden dann beide Einkommen einschließlich der Verzinsung konsumiert.
Die Steigung der Ressourcenbeschränkung beträgt −(1+r) und ist damit unabhängig vom Einkommen. Eine Veränderung des Einkommens verschiebt die Gerade parallel, während eine Änderung des Zinssatzes die Gerade dreht.
Anwendung
Robert Ernest Hall verwendete die Euler-Gleichung zur Entwicklung eines Random-Walk-Modells des Konsums.
