Diffusionsbegrenztes Wachstum

Grundidee und Bedeutung

Diffusionsbegrenztes Wachstum (diffusion limited aggregation, DLA) beschreibt die zufällige Anlagerung von Teilchen. Es beruht auf der brownschen Molekularbewegung: Teilchen in Gasen oder Flüssigkeiten bewegen sich thermisch und zufällig. DLA ist einer der einfachsten Mechanismen zur Erzeugung von Fraktalen, also Strukturen, die stark verästelt sind und sich im Grenzfall unendlich kleiner Teilchen selbstähnlich verhalten können.

Ablauf im Modell

Teilchen bewegen sich durch Diffusion, bis sie in die Nähe eines bereits vorhandenen Verbunds abgelagerter Teilchen, eines Clusters, gelangen. Unterschreitet ein Teilchen einen Mindestabstand, lagert es sich an das Cluster an.

An den schon bestehenden Spitzen ist die Anlagerungswahrscheinlichkeit größer. Dadurch wachsen bevorzugt die äußeren Enden weiter. Es entstehen stark verästelte Strukturen, die „brownsche Bäume“ genannt werden. Im Grenzfall unendlich kleiner Teilchen sind diese Strukturen Fraktale.

Witten-Sander-Modell

Leonard M. Sander und Thomas Witten beschrieben das diffusionsbegrenzte Wachstum 1981. Anlass waren Ablagerungen von Eisenkolloiden, in denen sie Strukturen beobachteten, die an Mandelbrots Fraktale erinnerten. Mit einem einfachen Computermodell simulierten sie deren Entstehung: Ein Teilchen bewegt sich überwiegend durch Diffusion beziehungsweise brownsche Bewegung und lagert sich bei ausreichend geringer Entfernung an ein Cluster an. Die Simulation ergab überraschend verästelte, fraktale Strukturen.

Beispiele und Abbildungen

Beispiele für solche Strukturen sind die Anlagerung von Rußteilchen an Kaminwänden, durch die ein Rohr zuwächst, sowie Ausfällungen in elektrolytischen Lösungen. In einer Kupfersulfatlösung kann Kupfer mit geeigneten Kathoden als reines Kupfer ausgefällt werden.

Weitere genannte Beispiele sind baumartige Strukturen in der Biologie, etwa Fellzeichnungen bei Zebra, Tiger, Leopard und Tapir, außerdem Lichtenberg-Figuren und Schneeflocken. Die Bilder zeigen brownsche Bäume aus einer Kupfersulfatlösung durch elektrolytische Abscheidung sowie rasterelektronenmikroskopische Aufnahmen mit 4.850facher, 8.470facher und 134.980facher Vergrößerung.