Ähnlichkeitsdifferentialgleichung

Definition und Grundidee

Eine Ähnlichkeitsdifferentialgleichung, auch homogene oder Euler-homogene Differentialgleichung genannt, hat die Form

x'=f\left(\frac{x}{t}\right),

wobei f eine stetige Funktion ist. Entscheidend ist, dass die rechte Seite nicht von x und t getrennt, sondern nur von ihrem Quotienten x/t abhängt.

Lösungsverfahren

Man setzt u=\frac{x}{t}, also x=tu. Dadurch wird die Gleichung umgeformt zu

u'=\frac{1}{t}(f(u)-u).

Diese Gleichung lässt sich mit der Trennung der Variablen lösen. Anschließend setzt man u=x/t zurück ein, um die Lösungen x(t) der ursprünglichen Differentialgleichung zu erhalten.

Typische Gleichungen

Für x'=1+\frac{x}{t} ergibt die Substitution u=x/t die Gleichung u'=1/t. Es folgt u(t)=\ln(t)+C und damit

x(t)=t\ln(t)+Ct.

Bei x'=\frac{x}{t}-\frac{x^2}{t^2} erhält man u'=-u^2/t. Die Lösungen sind

u(t)=\frac{1}{\ln|t|+C},

also x(t)=\frac{t}{\ln|t|+C}. Dabei ist C jeweils eine Konstante.

Umformbare und geometrische Beispiele

Die Gleichung x'=\frac{x^2+t^2}{tx} ist ebenfalls eine Ähnlichkeitsdifferentialgleichung, denn sie lässt sich als x'=\frac{x}{t}+\left(\frac{x}{t}\right)^{-1} schreiben. Mit u=x/t folgt u'=1/(ut). Daher gilt

u(t)=\pm\sqrt{2\ln|t|+C}

und somit x(t)=\pm t\sqrt{2\ln|t|+C}.

Eine geometrische Aufgabe führt auf y-x\frac{dy}{dx}=\sqrt{x^2+y^2}: Die Entfernung eines Kurvenpunkts vom Ursprung soll gleich der y-Koordinate des Schnittpunkts seiner Tangente mit der y-Achse sein. Äquivalent ist

\frac{dy}{dx}=\frac{y}{x}-\sqrt{1+\left(\frac{y}{x}\right)^2}.

Mit t=x und u=y/x wird daraus u'=-(1+u^2)/t. Die Lösung lautet u(t)=\sinh(-\ln|t|+C). Mit D=e^C ergeben sich die Kurven

y(x)=\frac{1}{2D}-\frac{Dx^2}{2},

wobei D positiv ist.