Statistik: Dichtefunktion - FernUni Hagen - Wiwi
Stats Tutor
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Transkript (automatisch erstellt)

0:00 wir haben zwei Zufallsvariablen X und Y die Wahrscheinlichkeitsfunktion der Zufallsvariablen x lautet f vonx = p von Groß x = klein x also die
0:16 Wahrscheinlichkeit dass unsere Zufallsvariable groß x einen der folgenden Werte annimmt ist g=ich 0 für X kleiner g= 0 also die
0:28 Wahrscheinlichkeit dass die Zufalls Variable x 0 oder negativ ist ist= 0 1 se für X größer 0 und kleiner g=ich 6 also für jeden Wert zwischen 0 und 6 ist
0:44 die Wahrscheinlichkeit jeweils ein Sechstel das könnte z.B das Werfen eines Würfels sein für jeden der Werte 1 bis 6 ist die Wahrscheinlichkeit ein Sechstel
0:54 0 ist ja ausgeschlossen ein Sechstel ist die Wahrscheinlichkeit nur dann wenn X größer 0 ist unsere Zufallsvariable x nimmt also das Ergebnis eines
1:03 würfelwurfs auf für jeden Wert größer 6 ist die Wahrscheinlichkeit ebenfalls 0 also 0 für X grö 6 kommen wir zu unserer zufallswariablen
1:16 y die Wahrscheinlichkeitsfunktion der Zufallsvariablen y lautet F von Y = 0 für Y klein= 0 1/ für
1:31 Y größer 0 und kleiner g= 6 und 0 für Y größer 6 die Wahrscheinlichkeitsfunktion für Y sieht also exakt genau so aus wie die für X
1:47 dennoch gibt es einen Unterschied denn y steht nicht für die Augenzahl eines Würfels sondern y steht für die Regenmenge eines Tages wir stellen ein 6
1:59 l einmal auf die Erde und schauen am Ende des Tages wie viel Wasser sich in diesem Eimer befindet und die Zufallsvariable y nimmt die Wassermenge
2:07 des einas auf der einfachheitthalber und damit die beiden wahrscheinlichkeitsfunktionen äußerlich gleich aussehen gehen wir einfach davon
2:16 aus dass die Wahrscheinlichkeit für jede Regenmenge zwischen 0 und 6 gleich groß ist und dass es ausgeschlossen ist dass gar kein regenfällt denn die
2:24 Wahrscheinlichkeit für null ist ja null da es sich um ein 6 lit Eimer handelt können sich auch nicht mehr als 6 l im einimer befinden mir geht es hier darum
2:34 dass es sich bei X um eine diskrete Zufallsvariable handelt und bei y um eine stetige Zufallsvariable x nimmt die gewürfelte
2:46 Augenzahl auf also einen der Werte 1 2 3 4 5 und 6 y nimmt die Wassermenge im Eimer auf also einen beliebigen Wert zwischen 0
2:59 und 6 also auch jeden Wert zwischen 1 und 2 zwischen 2 und 3 und so weiter also z.B auch den Wert 2,1 oder 2,01 oder
3:11 2,001 Y kann unendlich viele verschiedene Werte aufnehmen X ist diskret y ist stetig wenn wir die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X in
3:23 einem Diagramm darstellen wollen dann nehmen wir dazu üblicherweise ein Säulendiagramm die x-Werte werden auf der x-Achse abgetragen und auf der
3:31 Y-Achse werden die jeweils zugehörigen F von X Werte abgetragen die Wahrscheinlichkeiten so wir haben die x-Werte 1 2 3 4 5 und 6 und da die
3:44 Wahrscheinlichkeit für jeden dieser Werte ein Sechstel ist brauchen wir uns auf der Y-Achse nur diesen Wert markieren sagen wir hier ist ein
3:52 Sechstel dann ist das die Säule für den x-Wert 1 das ist die Säule für den x-Wert 2 hier ist der xwert 3 hier ist 4 alle Säulen sind ein Sechstel hoch 5 und
4:08 6 so wenn wir die Wahrscheinlichkeitsverteilung von Y in einem Diagramm darstellen wollen dann müssen wir auch die Werte zwischen 1 und
4:17 2 oder zwischen 2 und 3 berücksichtigen daher können wir hier kein Säulendiagramm verwenden weil jede Säule ja für einen einzelnen Wert steht hier
4:28 haben wir aber unendlich viele Werte zwischen 1 und 2 oder zwischen 2 und 3 das müssen wir also anders darstellen und tatsächlich ist die Darstellung in
4:38 diesem Fall sogar einfacher wirichnen die Wahrscheinlichkeit einfach als eine durchgehende Linie denn wir hatten ja gesagt dass die Wahscheinlichkeit für
4:48 jeden xbeliebigen Wert zwischen 0 und 6 g groß ist die Wahrscheinlichkeitsfunktion sagt dass die Wahrscheinlichkeit zwischen 0
4:57 und 6 ein SE ist entschuldigung das hier muss natürlich y heißen und das ist f von Y so aber jetzt wird's interessant denn
5:08 was heißt in diesem Fall ein Sechstel fragen wir uns mal wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für 2 l Regen wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass
5:19 sich am Ende des Tages 2 l Wasser im eimal befinden und somit der Wert unserer Zufallsvariablen y = 2 ist wie sich herausstellt ist die inlichkeit
5:30 dafür nicht etwa ein Sechstel wie man ja meinen könnte wenn man sich das Diagramm anschaut oder die Wahrscheinlichkeitsfunktion Anstau
5:37 anschaut hier steht ja auch ein Sechstel nein die Wahrscheinlichkeit für genau 2 l Wasser ist gleich 0 denn wir müssen uns klar machen was es bedeutet wenn wir
5:49 es mit einer stetigen Größe zu tun haben wir haben ja nicht nach ungefähr 2 l Wasser gefragt sondern nach genau 2 l Wasser 2 l Wasser wird im Diagramm durch
6:01 diese Linie dargestellt und diese Linie ist eigentlich unendlich dünn sie hat keine Fläche sie steht nicht für 1,9999 l Wasser sie steht auch nicht für
6:14 2,001 l Wasser sie steht für genau 2 l Wasser kein Mikrogramm mehr oder weniger kein Nanogramm und kein quadrillionstel Gramm mehr oder weniger auch kein halbes
6:27 Atom zu viel oder zu wenig diese Wahrscheinlichkeit ist praktisch null das heißt um hier irgendeine sinnvolle Aussage zur Wahrscheinlichkeit
6:36 zu machen müssen wir immer mit von bis Bereichen arbeiten das heißt eine sinnvolle Frage wäre wie groß die Wahrscheinlichkeit ist dass sich
6:46 zwischen 1,5 und 2,5 l Wasser im Eimer befinden diese Frage können wir mit Hilfe des Diagramms beantworten denn die Wahrscheinlichkeit dass ich zwischen 1,5
6:58 und 2,5 l im Eimer befinden entspricht der Fläche unterhalb des Grafen im betreffenden Bereich wir wissen dass sich alle
7:08 Wahrscheinlichkeiten immer zu eins aufadidieren und tatsächlich ist der gesamte Flächeninhalt 6 x 1 = 1 die Fläche zwischen 1,5 und 2,5 ist 1
7:24 x 1 = 1 jeder dieser Bereich zschen 0 und 1 zwischen 1 und 2 zwischen 2 und 3 zwischen 3 und 4 zwischen 4 und
7:37 5 und zwischen 5 und 6 ist gleich ein SE genauso wie im Säulendiagramm jede Säule ein sechel ist ist hier jeder dieser Bereiche ein Sechstel und alles
7:50 zusammen summiert sich immer zu ein jetzt können wir auch für beliebige Bereiche die Wahrscheinlichkeiten ausrechnen
8:00 für einen einzelnen bestimmten Wert ist immer null weil der keine Fläche hat jetzt haben wir es hier mit dem speziellen Fall einer Gleichverteilung
8:08 zu tun alle Werte sind gleich wahrscheinlich auch für die diskrete Zufallsvariable haben wir eine Gleichverteilung jeder einzelne Wert ist
8:17 gleich wahrscheinlich im stetigen Fall nennt man dies auch nach der Form eine rechteckverteilung es gibt auch noch andere
8:27 verteilungsformen z gibt es auch eine dreieckverteilung die könnte z.B so aussehen oder verschiedenste andere
8:37 Formen der Verteilung all das sind denkbare verteilungsformen eine besonders häufig anzutreffende Form der Verteilung ist
8:46 die sogenannte Normalverteilung ich versuche das mal zu zeichnen das sieht ungefähr so aus bei all diesen verteilungsform
8:57 summiert sich die Fläche unter dem en immer zu eins denn die Summe der Wahrscheinlichkeiten muss ja eins sein im Unterschied zur Gleichverteilung
9:06 haben hier die verschiedenen Bereiche also solche Bereiche von gleicher Breite unterschiedliche Wahrscheinlichkeiten die jeweilige
9:15 Wahrscheinlichkeit wird ja immer durch die Fläche unter dem Grafen ausgedrückt das heißt wenn wir mal davon ausgehen dass dieser Bereich doppelt so hoch ist
9:24 wie dieser Bereich dass auch die Fläche doppelt so groß ist und dass die Wahrscheinlichkeit für diesen Bereich doppelt so groß ist andersrum wenn wir
9:35 die Fläche halbieren und wir können die Fläche auch halbieren indem wir den betreffenden Bereich halbieren wir halbieren die Fläche also längs dann hat
9:44 dieser Bereich exakt die gleiche Wahrscheinlichkeit wie dieser Bereich der Flächeninhalt ist derselbe auch wenn der rechte Bereich nur noch halb so
9:52 breit ist da wir die Wahrscheinlichkeiten also nie für einen Punkt sondern immer nur für Bereiche angeben können und die
10:00 Wahrscheinlichkeiten aber davon abhängen wie breit wir den jeweiligen Bereich wählen nennen wir die Höhe des Grafen die
10:09 Wahrscheinlichkeitsdichte wenn die Wahrscheinlichkeitsdichte hier doppelt so hoch ist wie hier dann ist die Wahrscheinlichkeit hier für jeden
10:16 Bereich doppelt so groß wie für jeden gleichbreiten Bereich hier die Höhe des Grafen sagt uns also nicht sofort die Wahrscheinlichkeit sondern die
10:28 Wahrscheinlichkeitsdichte daher nennen wir die Wahrscheinlichkeitsfunktion einer stetigen Zufallsvariablen nicht Wahrscheinlichkeitsfunktion sondern
10:38 Dichtefunktion unser F von Y ist also eine dichte Funktion diese dichte Funktion liefert uns also nicht die Wahrscheinlichkeit für einen bestimmten
10:48 Wert sondern die Wahrscheinlichkeitsdichte für diesen Wert mit Hilfe dieser Dichte können wir dann die Wahrscheinlichkeit für einen
10:55 bestimmten Bereich ausrechnen bzw was dasselbe ist die Fläche unter dem Grafen für einen bestimmten Bereich und wie macht man das wie berechnet man
11:06 normalerweise die Fläche unter einem funktionsgrafen wie vielleicht aus dem mattekurs bekannt ist berechnet man die Fläche unter einem
11:15 funktionsgrafen indem man das Integral der Funktion bildet keine Angst ich will jetzt keine Integralrechnung machen mir geht es hier nur um die grundsätzlichen
11:24 Zusammenhänge tatsächlich haben wir die Integralrechnung hier schon angewandt wenn F vony = 1 ist dann ist die Stammfunktion oder die Aufleitung =ich 1
11:37 se x ne die Ableitung von 1/ X ist ja 1/ und wenn wir die Fläche zwischen 3 und 4 ausrechnen wollen dann setzen wir für X einmal 3 ein und einmal 4 und
11:51 ziehen das eine vom anderen ab also 1/ x 4 - 1/ x 3 das ist=le 1/ x 1 also 1 se also immer wenn von einer Dichtefunktion die Rede ist wissen wir
12:06 dass wir es mit einer stetigen Größe zu tun haben wie etwa der Wassermenge in einem Eimer und die zugehörige Zufallsvariable wie etwa unsere
12:14 Zufallsvariable y ist eine stetige Zufallsvariable immer wenn von einer Wahrscheinlichkeitsfunktion die Rede ist müssen wir von einer diskreten Größe und
12:24 einer diskreten Zufallsvariablen ausgehen