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Differentialquotient berechnen – Limes, Ableitung Beispiel
Das Wichtigste aus dem Video
Tipp auf eine Zeit – das Video springt genau dorthin.
Transkriptautomatisch erstellt · 66 Zeilen
- hallo ihr lieben in dem heutigen video möchte ich euch zeigen wie man berechnungen mit dem differenzial quotienten durchführen kann und das
- thema an sich ist nicht ganz so beliebt weil er differenzial quotienten bisschen abschreckende aussieht was wir gleich sehen werden aber ich möchte trotzdem
- schritt für schritt mit euch durchgehen weil man das so schön an dem schema abarbeiten kann ermittler mit hilfe des differenzial quotienten die ableitung
- von f an einer beliebigen stelle x0 das ist die hauptaufgabe und berechne anschließend jetzt kommt so eine nebenaufgabe die steigung von elf eine
- stelle x0 gleich fünf die ignorieren wir am anfang erstmal dass wir der zweite teil werden wenn wir den ersten teil geschafft haben ist der zweite teil auch
- von easy aber dies denn erst müssen wir halt erstmal durch so was sollen wir machen wir bekommen unsere funktion 11 die so aussieht und von der sollen wir
- die ableitung bestimmen an welcher stelle an einer beliebigen stelle 60 also wir bekommen jetzt keinen expliziten wert für das 60 also das
- steht nicht an der stelle sieben wollen wir die ableitung wissen sondern es soll einfach an irgendeiner stelle x0 somit die ableitung berechnen und dann kann
- man wenn man möchte eben jeden wert für x0 einsetzen der 1 interessieren könnte was auch in der zweiten aufgabe dann der fall sein wird aber gut erstmal hier wie
- sollen die ableitung bestimmen jetzt stehen wir allerdings wenn wir mit dem differenzial patienten unterwegs sind am anfang des themas ableitung wirklich
- ganz am anfang und man weiß noch gar nichts man kennt keine ab leitungs regeln die man irgendwann dann kennen lernt deswegen müssen wir halt in
- differenzial patienten nutzen so wie es in der aufgabe auch darin steht schauen wir uns einmal an das ist unsere funktion wie ist der differential
- prozent definiert er sieht folgendermaßen aus wir sollen den grenzwert bilden limes wenn nix gegen x0 läuft also dick sie sich immer näher
- an das x0 annähert von einem bruch weil das ist ja auch ein quotient der differential prozent im nenner haben wir iks - x0 stehen kann man sich ganz gut
- merken weil das hier auch nix - x0 sozusagen von der reihenfolge ist und auch im zähler haben wir eine differenz auch mit der reihenfolge ickx und x0
- aber elf von ex und fx 0 also relativ ähnlich aufgebaut kann man sich eigentlich ganz gut merken das ist er mit den sollen wir jetzt die
- berechnung durchführen und der differential quotient ist dann letztendlich also wenn wir das berechnen dann finden wir die ableitung an der
- stelle x0 von unserer funktion f also das hier ist die definition für die ableitung ok und das schöne ist ich habe euch
- versprochen es gibt ein schema wie man vorgehen kann erster schritt wir sollen er von xfx 0 und x0 einsetzen okay dann schauen wir mal was es bei uns wäre er
- von iks ersetzen wir gleich er von x0 stand da und x0 sollen wir ersetzen was wir nicht machen ist einig sind was zu ändern das stand auch nicht auf dem plan
- das ixs wird immer einfach iks bleiben daran ändern wir gar nichts dann schau mal was sie gegeben ist wie gesagt fassen wir nicht an lassen wir so stehen
- wie sieht's mit x0 aus haben wir für x0 eine information bekommen 1060 bleiben wenn ihr jetzt eben den wert 7 bekommen hätte in der
- aufgabenstellung dann müsse die an dieser stelle jetzt statt diesem x0 eben sieben hier unten hin schreiben war es bei uns aber nicht der fall ist deswegen
- alles wieder weg x0 soll bei uns x0 bleiben dann kommt er so was haben wir jetzt vielleicht erst mal unten iks fassen wenn ich am schreiben wir so ab
- 60 ersetzen wir nur wenn wir eine zahl bekommen haben wir hier nicht okay wie sitzgruppen aus was ist er von xs je nach aufgabenstellung anders bei uns ist
- unser erfolg geben die funktion hier und die setzen wir dann für von ex eben einfach ein also stadt phoenix schreiben wir unsere funktion dann kommt ein -
- dann macht schon mal eine klammer hin weil das - muss jetzt auf alles angewendet werden was da jetzt kommt und was kommt da
- nix 0 also statt dem weg soll jetzt x0 stehen das heißt statt dem weg hier soll x0 stehen was bedeutet dass jede six was sie hier in der funktion findet durch x0
- ersetzt so machte dass er wenn ihr funktions wert ausrechnen wenn ich jetzt sagen würde berechnet von drei dann würdet ihr sagen okay ich setze statt
- dem xv sie drin ist eben 3 1 und berechnet dass dann und bei uns ist es jetzt nicht so dass wir eine zahl gekommen aber das soll ich's 0 1 und
- dann müssen wir 60 hier eben auch ersetzen also wir schreiben genau unsere funktion noch mal ab aber jede sixx wird durch x0 ersetzt
- okay das war der erste schritt alles einsetzen das haben wir erledigt zweiter schritt bruch vereinfachen okay das kriegen wir
- hin oder das war jetzt schauen wir haben noch unseren bruch hier vorne grenzwert kommt ganz zum schluss erst mit dem machen wir jetzt erstmal nix den
- schreiben wir einfach immer nur brav so ab aber mit dem bruch schon mal bier den verein fahren können 660 unten lassen wir auf jeden fall mal so stehen oben
- können wir aber mal die klammer hier auflösen vorne den teil schreibt erstmal so ab aber hinten hätten wir - 3x 0 quadrat und auch - 4 hinten ok klammer
- ist weg was hat es gebracht wir können jetzt mal schauen ob wir was vereinfachen können also zum beispiel die vier -4 wenn wir die zusammenrechnen
- fällt ihr einfach weg also 440 diesem grunde nicht mehr da das hier habe ich jetzt noch mal auf die nächste seite dann geschrieben und wir versuchen den
- bruch weiter zu vereinfachen was können wir noch machen um so einen bruch wegzubekommen würden wir gerne kürzen wenn es denn möglich ist noch können wir
- nichts kürzen ihr könnt nicht sagen das 60 streiche ich mit dem x0 hier weg weil hier ist eben eine differenz dadurch den nix raus streichen ihr dürft nur den
- kompletten nenner so wie er da steht wenn der noch mal im zählern zu finden ist dann darf man den raus kürzen aber noch ist er nicht da wir müssen jetzt
- mal gucken wie wir den zähler faktoren also durchaus klammern oder mit den biologischen formel gucken dass man nicht eine differenz hier stehen hat
- sondern eben die multiplikation also schauen wir mal was welche hätten die drei zum beispiel kommt in beiden teilen hier vor dann lasst sie uns man
- ausklammern raus aus dieser differenz was bleibt übrig hier vorne die drei kommt raus dass heißt iks quadrat bleibt übrig -
- und auch hier kommt die drei raus dann bleibt x0 quadrat übrig unten den teil lassen wir erst mal so stehen okay wir haben jetzt hier schon mal ein produkt
- was schon mal nicht schlecht ist aber wir können immer noch nicht kürzen hier stehen noch quadrate britische formel 1 daran denken wenn
- irgendwas mit quadrat dasteht irgendwas zum quadrat - irgendwas zum quadrat das ist doch die dritte bino mische formel wie war die noch mal die war a + b x h -
- b und da kommt als ergebnis dann etwas zum quadrat - etwas zum quadrat raus das ist genau das was wir hier stehen haben wir würden es jetzt also von der form
- gern noch mal in diese fakturierte form bringen und das können wir was hätten wir denn da der rest ändern wir mal gar nicht ab die dreimal lassen
- wir stehen unten unseren teil auch habe aus dem warmmachen wird zwei einzelne klammern also die dritte biologische formel rückwärts angewendet in der eine
- klammer steht ein plus in den anderen klammer stehen - und was steht jetzt drin naja wenn ira quadrat stand steht ja nur das heißt wenn die dix quadrat
- stand steht vorne nix wenn ihr x0 quadrat stand dann steht hier jetzt halt nur x0 und jetzt können wir kürzen dann schaut
- mal 1000 x xx 0 geht mit xxl und das ist super gut denn jetzt ist der bruch nicht mehr da was wir wollten das war unser zweiter schritt dass wir gesagt haben
- der bruch muss weg wir müssen den bruch vereinfachen dann steht jetzt hier nur noch dreimal und diese eine kleine klammer der rest ist weg das war der
- zweite schritt und im dritten schritt jetzt erst bilden wir den grenzwert okay das müssen wir machen ich soll gegen x0 laufen das heißt jede six was wir jetzt
- finden müssen wir gegen x0 laufen lassen also dieses ixia läuft dann gegen x0 was steht da der limes ist dann nicht mehr da weil wir machen jetzt die grenzwert
- betrachtung die drei steht noch da das ist auch nicht mehr da weil wir machen die grenzwerte betrachten es geht gegen x0 also statt imixs schreiben wir x0 hin
- und hinten mit dem x0 macht ihr übrigens gar nix weil nur decix bewegt sich in richtung von 1 060 nicht mit dem passiert nix das hat mit dem grenzwert
- hier gar nichts zu tun das bleibt bei x0 dann steht hier war 60 plus 0 sind 2x 0 und 3 x 2 wären 60 und das wäre unser differenzial kurzerhand das ergebnis
- davon was wir berechnet haben also 6x 0 haben wir aus was man das was ist der differential prozent das haben wir ganz am anfang gesehen ist nichts anderes als
- die ableitung an der stelle 60 und da haben wir 60 das war der erste teil und jetzt müssen wir uns noch um den zweiten teil kümmern wo wir die steigung
- von elf an einer ganz speziellen stelle berechnen soll okay da wissen wir schon mal völlig neu müssen auf jeden fall fünf einsätzen
- aber was ist die steigung von f die steigung von elf an einer stelle ist nichts anderes als die ableitung von f an dieser stelle also abstrich von der
- stelle 5 und was ist f strich von fünf strich von x0 haben wir hier unten stehen und statt dem x0 was hier drin ist setzen wir halt eben einfach die
- fünf einzig gegeben war also ich habe auch versprochen bewusst sehr einfach wird das heißt er strich von fünf wäre sechs mal fünf und das wäre neben 30 und
- damit hätte es dann hoffe ich dass es für euch verständlich war dass ihr eure aufgaben damit jetzt lösen könnt und dass wir uns bei einem nächsten video
- sehen nachts gut