Was ist eine Ableitung? | Differentialrechnung Theorie, Definition Ableitung, Differentialquotient
MathePeter
https://www.youtube.com/watch?v=Nn1aHZKc7r8

Transkript (automatisch erstellt)

0:00 hi in diesem Video schauen wir uns an was eine Ableitung ist wie wir sie ganz allgemein berechnen können und Beispiele wofür sie genutzt wird los geht's
0:10 merkt ihr die Ableitung ist einfach nur die lokale Änderung einer Funktion Leibniz hat die Ableitung bezeichnet als einen Proportionalitätsfaktor zwischen
0:21 Infinity Signalen also unendlich kleinen Differenzen in den Eingabewerten bei uns den x-werten und infinitesimalen Änderungen in den resultierenden
0:31 Funktionswerten bei uns den y-Werten anschaulich betrachtet heißt das einfach nur dass wir mit einer Sekante starten das heißt die Direktverbindung zwischen
0:41 zwei Punkten unserer Funktion und nennen wir einfach mal die zugehörigen x-Werte hier x und x0 du wirst auch gleich noch sehen warum ich diese Bezeichnung hier
0:53 wähle für die Punkte mit den zugehörigen Funktionswerten FX und FX null auf jeden Fall ist der Anstieg dieser Sekante hier die ich gerade
1:04 eingezeichnet habe ganz einfach nur ich nenne es mal m für Anstieg und es physikante abhängig von diesen beiden x-werten x und x0 ganz einfach bestimmt
1:15 über das anstiegsdreieck wenn du dich noch an die Schulzeit erinnerst dann doch manchmal hier solche rechtwinkligen Dreiecke hier
1:22 eingezeichnet und dann einfach nur die Differenz der y-Werte ins Verhältnis zu den zu der Differenz der x-Werte hier gesetzt na das heißt für entsprechend
1:33 viele x-Wert die wir voranschreiten gehen wir auch entsprechend viele y-Werte nach oben bzw unten das heißt also dass der Anstieg sich bestimmt über
1:43 die Differenz der y-Werte geteilt durch die Differenz der x-Wert oder wenn wir das ganze ausschreiben wollen dann ist das einfach nur f von X - F und x0 ist
1:53 so die Differenz der y-Werte der Funktionswerte geteilt durch X - x 0 also die Differenz der beiden x-Wert die wir hier für diese Sekante benutzt haben
2:02 oder wenn du ganz Fans sein möchtest dann kannst du auch die Differenz in den x-werten so lassen also X - x0 lässt du als DX und stellt
2:13 dann einfach nur diese Gleichung hier also Delta x = X - x 0 nach dem X um das heißt du könntest das x0 auf die andere Seite ziehen lange Rede kurzer Sinn X
2:23 ist das gleiche wie x 0 + der Differenz minus fx0 diese Schreibweise ist tatsächlich auch sehr praktisch um dann später die erste Ableitung per Hand
2:36 auszurechnen also ohne spezielle Ableitungsregeln und in gewissen Fällen ist das tatsächlich auch erforderlich dann machen wir es aber meistens so dass
2:44 wir kurzerhand einfach die Differenz in x-werten Hahnen das hat auch andere praktische Gründe über die wir dann später reden beispielsweise bei
2:53 numerischen Berechnungen okay das ist also der Anstieg unserer Sekante was wir aber erreichen wollen ist eine
3:01 lokale Änderung in unserer Funktion und lokal bedeutet dass wir nur hinreichend nah an unseren Punkt beispielsweise x0 herantreten
3:12 und das können wir erreichen indem wir unser x so nah wie möglich an das x0 heran schieben also wenn wir das X beispielsweise ganz nah an das x0
3:24 heranführen dann wird Schritt für Schritt folgendes passieren dieser Punkt nähert sich immer weiter diesen x0 an das heißt also dass diese Sekante
3:34 ihren Anstieg verändert und zwar so weit bis wir schlussendlich
3:42 unglaublich nah an diesem x0 dran sind und am Ende so etwas rausbekommen [Musik] wie diese lineare Funktion hier die
3:52 Tangente an der Funktion FX im Punkt x0 und das Spannende ist dass jetzt der Anstieg dieser Tangente im Punkt X null
4:06 einfach nur der Grenzwert ist wenn wir x gegen x 0 schieben von dem Anstieg der sie kannte die mir gerade eben noch besprochen haben
4:19 oder wenn wir das ganze ausschreiben das heißt wenn wir einfach nur diesen Grenzwert hier x gegen x0 vor unseren
4:29 Differenzenquotienten hier schieben dann das nennt sich Differenzenquotient weil es ein Quotient aus Differenzen ist
4:36 dann könnten wir auch schreiben einfach dass die Differenz in den x-werten gegen Null geht und diese Schreibweise ist deswegen so
4:44 spannend denn wenn die Differenz in den x-werten gegen Null geht dann wird auch die Differenz in den Funktionswerten gegen Null gehen weil es sich hierbei um
4:53 eine stetige Funktion handelt das heißt also wir können hierfür auch ein neues Symbol einführen und zwar das Symbol des Differentials es ist eine einfach nur
5:02 eine unendlich kleine Differenz in den y-Werten geteilt durch eine unendlich kleine einer infinitiisimale
5:12 Änderung in den x-werten in diesem Fall und natürlich alles gerade im Punkt x 0 ja ich habe ja wir haben ja x gegen x-0 geschickt
5:23 das heißt streng genommen können wir hier noch als Argument X9 schreiben ich möchte aber nur dass du weißt dass all das was wir gerade aufgeschrieben haben
5:32 insbesondere diese letzte Schritt hier die Schreibweise mit den Differentialen die Definition für die erste Ableitung ist
5:40 bzw was heißt die Definition dass die Schreibweise dafür die Definition ist im Grunde das was wir vorne stehen haben der Grenzwert oder anders gesagt wenn
5:49 wir diese Schreibweise von hier oben mit den Hass nehmen und dort das Haar gegen Null laufen lassen das nennt sich auch die h-methode zu bestimmen der ersten
5:58 Ableitung und wie gesagt dieses Delta y geteilt durch Delta x das ist der Differenzen Quotient weil es ein Quotient aus Differenzen und dieses D y
6:10 durch die x das ist der differentialquotient weil es ein Quotient aus Differential ist und wenn dieser Grenzwert hier existiert
6:18 dann nennen wir ihn die erst Ableitung und diese erste Ableitung beschreibt eine lokale Änderung der Funktion und
6:29 entspricht dem Anstieg der Tangente in diesem Punkt bzw dem Anstieg der Funktion in diesem Punkt okay da wir jetzt wissen dass die Ableitung die
6:38 lokale Änderung der Funktion ist und sich über so einen Grenzwert hier berechnen lässt würden wir auch gerne noch wissen wozu das Ganze denn
6:46 eigentlich und jetzt könnte ich dir natürlich mit solchen pseudoantworten kommen wie naja da jetzt die Ableitung die lokale Änderung der Funktion ist
6:53 wissen wir auch wie diese Funktion sich lokal verhält gehen sie hoch geht sie runter Monotonie oder wie verändert sich denn die Monotonie Lokal also das
7:02 krümmungsverhalten ist die konkav und das sind auch alles wichtige Hilfsmittel die man tatsächlich alle braucht aber es beantwortet nicht so wirklich die Frage
7:11 nach wozu denn eigentlich und dafür hier meine beste Antwort du kennst doch sicherlich Gleichungen die Zustände beschreiben sowas wie mein
7:22 alter ist das Alter meines Bruders + 9 x ist gleich y + 9 z.B so eine Gleichung beschreibt einen Zustand jetzt
7:34 gibt es aber auch Gleichungen die Prozesse beschreiben können und zwar wenn in ihnen die lokale Änderung einer Funktion vorkommt die erste Ableitung
7:45 solche Gleichungen in denen Ableitungen vorkommen heißen Differentialgleichungen und wie gesagt die beschreiben Prozesse wie beispielsweise ein Gewichtheber der
7:54 eine Stange mit Gewichten hebt an denen aber noch Ketten befestigt sind die bis auf den Boden reichen je höher diese Stange gehoben wird desto schwerer wird
8:03 das Ganze sein Prozess der beschrieben wird oder der Staat einer Rakete bei dem ähm die Geschwindigkeit erhöht wird durch den Ausstoß von Treibstoff von
8:14 Masse die Masse verringert sich über die Zeit das ist auch ein Prozess der beschrieben wird oder das Wetter oder die Ausbreitung von Wärme die
8:21 Ausbreitung von Wellen und und und mit Hilfe von Ableitungen können wir also Gleichungen aufstellen sogenannte Differentialgleichungen die Prozesse
8:30 beschreiben und damit unglaublich wichtig und unentbehrlich sind für Physiker und Ingenieure dazu aber mehr in späteren Videos bis dahin
8:39 alles Gute hey ich hoffe das Video hat er gerade gefallen wenn du dich demnächst auf eine Matheprüfung vorbereiten musst dann schau unbedingt
8:46 mal unter diesem Video nach ich habe dort mehrere von meinen online Kursen verlinkt die dich bestmöglich auf deine Matheprüfung vorbereiten wenn dir das
8:52 Video weitergeholfen hat und Du mich in Zukunft unterstützen möchtest dann erzähl einfach dein kommiliton deinen Freunden und deiner Familie von mir und
8:58 abonniert den Kanal danke dir