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Das ungelöste Rätsel im Pascalschen Dreieck
Das Wichtigste aus dem Video
Tipp auf eine Zeit – das Video springt genau dorthin.
Transkriptautomatisch erstellt · 58 Zeilen
- Ein einfaches Dreieck aus Zahlen. Schon Kinder malen es im Matthunterricht. Doch in diesem unscheinbaren Muster steckt mehr als man denkt. Geheime
- Zusammenhänge, verblüffende Gesetzmäßigkeiten und sogar ungelöste Rätsel der modernen Mathematik. Manche Zahlen tauchen dort immer wieder auf.
- Andere sind so selten, dass sie fast einzigartig wirken. Schon Bless Pascal untersuchte dieses Dreieck im 17. Jahrhundert. Doch das wirklich spannende
- ist, bis heute birgt es Geheimnisse, die kein Mathematiker lösen konnte. Eines davon ist die sogenannte Singmaster Vermutung und ist der Schlüssel für ein
- kleines, aber faszinierendes Geheimnis der Zahlenwelt. Das sogenannte Pascalische Dreieck, benannt nach dem Mathematiker Blast
- Pascal lässt sich auch sehr leicht konstruieren. Wir starten mal und machen als erstes mal eine eins hierhin. So. Und diese ein müssen wir jetzt immer
- wieder diagonal fortsetzen. Also ma ich mal eine ein links versetzt nebend dran und eine 1 rechts versetzt nebendran. So, immer wenn zwei Zahlen jetzt
- nebeneinander stehen, müssen wir die Summe von den beiden Zahlen bilden. Also in dem Falle 1 + 1 ergibt 2. Und wir müssen diese Einzen wieder
- fortsetzen. Also machen wir hier noch eine ein hin und hier noch eine ein hin. So. Und jetzt haben wir wieder Zahlen nebeneinander stehen. Das heißt, wir
- können wieder die Summe bilden. Dann bekommen wir hier 1 + 2 ergibt 3 und 2 + 1 ergibt ebenfalls 3. Und nicht vergessen, die Einzen fortzusetzen. Also
- wieder eine ein hierhin und eine 1 hierhin. So, jetzt können wir das Ganze noch mal wiederholen. Dann haben wir hier also 1 + 3 ergibt 4, 3 + 3 ergibt
- 6 und 3 + 1 ergibt 4. Und wir können die einzensten wieder fortsetzen. Also haben hier eine 1 und hier eine 1. So, eine letzte Zeile machen wir noch. Also hier
- kriegen wir eine fünf, hier dann eine 10, dann hier wieder eine 10. hier eine fünf
- und die einzen fortsetzen. Okay, damit haben wir jetzt also 1 2 3 4 5 6, also die ersten sechs Zeilen vom
- Pascalschen Dreieck herausgefunden und wir können das Ganze natürlich unendlich weiter fortsetzen. Das Pascalche Dreieck sieht vielleicht erstmal nur wie eine
- Spielerei aus, hat aber tatsächlich sehr praktische Eigenschaften. Eine davon betrifft die binomischen Formeln. Fangen wir mal mit einem leichten Fall an. Und
- zwar können wir ja z.B. a + b hoch 1 äh hinschreiben. Das ganze ergibt natürlich a + b, ne? Weil das hoch 1
- keinen Einfluss hat. Also hätten wir hier eine 1, dann haben wir das A
- und dann haben wir wieder eine 1 und haben das B. Also hier in dem Falle war das noch nicht wirklich spektakulär. Schauen wir
- uns im nächsten Fall an und in der nächsten Zeile haben wir dann die Zahlen für a + b hoch 2, also die klassische binomische Formel. Und auch hier haben
- wir die Koeffizienten in der Pascalchen im Paskalchen Dreieck drinne stehen. Also auch wieder eine 1 zunächst 1, dann haben wir ja a hoch 2 plus dann
- brauchen wir die 2 und dann haben wir 2ab. Also ich mache mal a hoch 1 b hoch 1 und zu guter letzt + 1
- b hoch 2. Also die klassische binomische Formel kann man auch hier direkt ablesen, also
- die Koeffizienten zumindest. Jetzt wird schon spannender. Machen wir die nächste Zeile. Jetzt haben wir also die Koeffizienten für a + b hoch 3.
- Auch hier können wir es einfach wieder ablesen. Das heißt, wir haben ein A hoch 3 plus dann haben wir 3.
- Und hier muss man jetzt nur drauf achten, dass die Hochzahlen zusammen die Hochzahl hier vorne ergeben. Also, wir reduzieren erstmal das A um 1, also
- kommen auf A hoch 2 und brauchen dann noch ein b hoch 1, sass wir zusammen wieder auf die 3 kommen. Darum geht's. Dann haben wir noch eine drei, also
- wieder plus, dann wieder 3 und in dem Falle dann also a hoch 1 und b hoch 2.
- Und zu guter Letzt dann noch der die letzte Zahl, der letzte Summant ähm plus und dann wieder eine 1 und in dem Falle dann noch b hoch 3.
- Ich hoffe, ihr könnt die Vorgehensweise erkennen und verstehen. Mit Hilfe des Pascalschen Dreiecks können wir also Potenzen von Binomen sehr leicht
- herausfinden. Doch das Dreieck hat noch viel mehr zu bieten. Versteckt zwischen den Zahlenreihen liegen berühmte Zahlen
- folgen. Am Rand die natürlichen Zahlen 1 2 3 4 und so weiter. den der zweiten Diagonalen die Dreieckszahlen 1 3 6 10 und so weiter
- und sogar die Fibonacci Zahlen lassen sich durch schräge Summen im Dreieck finden.
- Das Pascalche Dreieck ist wie eine Schatzkarte voller mathematischer Kostbarkeiten. Man kann das Pascalche Dreieck auch
- durch Binomialkoeffizienten aufstellen, denn es gilt n über k + n über k + 1 = n + 1 über k + 1. Das n steht dabei für die Zeile im Dreieck
- beginnend bei 0 und das k für die Position in der Zeile ebenfalls beginnend bei 0. Will man also z.B. 7 über 3 berechnen, kann man in die achte
- Zeile und zum vierten Eintrag gehen. Das Ergebnis ist also 35. Über das Pascalche Dreieck sind also schon viele faszinierende Eigenschaften bekannt.
- Dennoch gibt es ungelöste Rätsel, die bis heute offen sind. Eines davon ist die Singmaster Vermutung. Der Mathematiker David Singmaster
- beschäftigte sich in den 1970er Jahren mit einer scheinbar einfachen Frage: Wie oft taucht eine bestimmte Zahl im Pascalischen Dreieck auf? Ganz außen im
- Dreieck steht natürlich in jeder Zeile die eins. Diese Zahl kommt also unendlich oft vor. Die zwei hingegen erscheint nur ein einziges Mal, nämlich
- in der dritten Zeile. Die 3 erscheint genau zweimal im Dreieck. Die sechs taucht genau dreimal im Pascalischen Dreieck auf und die zehn können wir
- genau viermal finden. Es wurde bisher keine Zahl gefunden, die genau fünf mal auftaucht. Die Zahl 120 kann man genau sechsm im Pascalischen
- Dreieck finden [Musik] und es wurde auch noch keine Zahl
- gefunden, die genau sieben mal auftaucht. Es wurde bisher nur eine Zahl gefunden, die genau acht mal auftaucht, nämlich 3003.
- siehst du gleich die Zahl, die am häufigsten auftaucht, denn es wurde noch keine Zahl gefunden, die mehr als acht mal auftaucht.
- Singmas vermutete, dass es für jede Zahl, außer für die unendlich oft auftauchenden Einzeln eine feste Obergrenze gibt, wie oft sie vorkommen
- kann. Mit anderen Worten, auch wenn man das Pascalche Dreieck noch so weit nach unten zeichnet, man würde keine Zahl finden, die unendlich viele Male
- wiederkehrt. Das klingt vielleicht naheliegend, ist aber keineswegs bewiesen. Bis heute kennt man zwar viele Beispiele, wo Zahlen mehrfach vorkommen
- und man weiß, dass die Häufigkeiten manchmal erstaunlich hoch werden, wie bei der 3003, die acht mal auftaucht. Doch wie groß diese Obergrenze ist und
- ob es sie überhaupt gibt, das ist bis heute eines der Rätsel der Zahlentheorie. Und das ist nicht das einzige Geheimnis, das im Pascalischen
- Dreieck steckt. Wenn man die Zahlen im Pascalischen Dreieck betrachtet und jede geradezahl durch ein weißes Feld ersetzt und jede ungeradezahl durch ein
- schwarzes Feld ersetzt, dann entsteht plötzlich ein völlig neues Muster, das Shippinski Dreieck. Eine der bekanntesten fraktalen Figuren
- überhaupt. Mit jedem Schritt ins Unendliche wiederholt sich dieses Muster immer feiner und zeigt, dass selbst einfache Rechenregeln überraschend
- komplexe Strukturen hervorbringen können. Das Pascalche Dreieck ist also nicht nur ein Teil der Kombinatorik oder Zahlentheorie, es ist auch ein Fenster
- in die Welt der Fraktale. Das Pascalche Dreieck ist also soweit mehr als nur ein einfaches Zahlenspiel. Es verbindet einfache Rechenregeln mit tiefen,
- ungelösten Fragen und erstaunlichen Mustern. Und genau das ist das Besondere an der Mathematik, dass aus etwas so einfachem, etwas so faszinierendes
- entstehen kann. Wenn dir das Video gefallen hat, würde ich mich sehr über ein kostenloses Abo freuen. warten noch viele weitere Themen und Geschichten aus
- der Welt der Zahlen. [Musik]
Zum Nachlesen
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