Das ungelöste Rätsel im Pascalschen Dreieck
Entwurzler
https://www.youtube.com/watch?v=KIZtyU7lfrQ

Transkript (automatisch erstellt)

0:00 Ein einfaches Dreieck aus Zahlen. Schon Kinder malen es im Matthunterricht. Doch in diesem unscheinbaren Muster steckt mehr als man denkt. Geheime
0:09 Zusammenhänge, verblüffende Gesetzmäßigkeiten und sogar ungelöste Rätsel der modernen Mathematik. Manche Zahlen tauchen dort immer wieder auf.
0:19 Andere sind so selten, dass sie fast einzigartig wirken. Schon Bless Pascal untersuchte dieses Dreieck im 17. Jahrhundert. Doch das wirklich spannende
0:28 ist, bis heute birgt es Geheimnisse, die kein Mathematiker lösen konnte. Eines davon ist die sogenannte Singmaster Vermutung und ist der Schlüssel für ein
0:38 kleines, aber faszinierendes Geheimnis der Zahlenwelt. Das sogenannte Pascalische Dreieck, benannt nach dem Mathematiker Blast
0:47 Pascal lässt sich auch sehr leicht konstruieren. Wir starten mal und machen als erstes mal eine eins hierhin. So. Und diese ein müssen wir jetzt immer
0:57 wieder diagonal fortsetzen. Also ma ich mal eine ein links versetzt nebend dran und eine 1 rechts versetzt nebendran. So, immer wenn zwei Zahlen jetzt
1:08 nebeneinander stehen, müssen wir die Summe von den beiden Zahlen bilden. Also in dem Falle 1 + 1 ergibt 2. Und wir müssen diese Einzen wieder
1:18 fortsetzen. Also machen wir hier noch eine ein hin und hier noch eine ein hin. So. Und jetzt haben wir wieder Zahlen nebeneinander stehen. Das heißt, wir
1:27 können wieder die Summe bilden. Dann bekommen wir hier 1 + 2 ergibt 3 und 2 + 1 ergibt ebenfalls 3. Und nicht vergessen, die Einzen fortzusetzen. Also
1:38 wieder eine ein hierhin und eine 1 hierhin. So, jetzt können wir das Ganze noch mal wiederholen. Dann haben wir hier also 1 + 3 ergibt 4, 3 + 3 ergibt
1:51 6 und 3 + 1 ergibt 4. Und wir können die einzensten wieder fortsetzen. Also haben hier eine 1 und hier eine 1. So, eine letzte Zeile machen wir noch. Also hier
2:05 kriegen wir eine fünf, hier dann eine 10, dann hier wieder eine 10. hier eine fünf
2:16 und die einzen fortsetzen. Okay, damit haben wir jetzt also 1 2 3 4 5 6, also die ersten sechs Zeilen vom
2:27 Pascalschen Dreieck herausgefunden und wir können das Ganze natürlich unendlich weiter fortsetzen. Das Pascalche Dreieck sieht vielleicht erstmal nur wie eine
2:35 Spielerei aus, hat aber tatsächlich sehr praktische Eigenschaften. Eine davon betrifft die binomischen Formeln. Fangen wir mal mit einem leichten Fall an. Und
2:44 zwar können wir ja z.B. a + b hoch 1 äh hinschreiben. Das ganze ergibt natürlich a + b, ne? Weil das hoch 1
2:56 keinen Einfluss hat. Also hätten wir hier eine 1, dann haben wir das A
3:05 und dann haben wir wieder eine 1 und haben das B. Also hier in dem Falle war das noch nicht wirklich spektakulär. Schauen wir
3:14 uns im nächsten Fall an und in der nächsten Zeile haben wir dann die Zahlen für a + b hoch 2, also die klassische binomische Formel. Und auch hier haben
3:25 wir die Koeffizienten in der Pascalchen im Paskalchen Dreieck drinne stehen. Also auch wieder eine 1 zunächst 1, dann haben wir ja a hoch 2 plus dann
3:37 brauchen wir die 2 und dann haben wir 2ab. Also ich mache mal a hoch 1 b hoch 1 und zu guter letzt + 1
3:49 b hoch 2. Also die klassische binomische Formel kann man auch hier direkt ablesen, also
3:57 die Koeffizienten zumindest. Jetzt wird schon spannender. Machen wir die nächste Zeile. Jetzt haben wir also die Koeffizienten für a + b hoch 3.
4:10 Auch hier können wir es einfach wieder ablesen. Das heißt, wir haben ein A hoch 3 plus dann haben wir 3.
4:22 Und hier muss man jetzt nur drauf achten, dass die Hochzahlen zusammen die Hochzahl hier vorne ergeben. Also, wir reduzieren erstmal das A um 1, also
4:31 kommen auf A hoch 2 und brauchen dann noch ein b hoch 1, sass wir zusammen wieder auf die 3 kommen. Darum geht's. Dann haben wir noch eine drei, also
4:40 wieder plus, dann wieder 3 und in dem Falle dann also a hoch 1 und b hoch 2.
4:52 Und zu guter Letzt dann noch der die letzte Zahl, der letzte Summant ähm plus und dann wieder eine 1 und in dem Falle dann noch b hoch 3.
5:07 Ich hoffe, ihr könnt die Vorgehensweise erkennen und verstehen. Mit Hilfe des Pascalschen Dreiecks können wir also Potenzen von Binomen sehr leicht
5:15 herausfinden. Doch das Dreieck hat noch viel mehr zu bieten. Versteckt zwischen den Zahlenreihen liegen berühmte Zahlen
5:23 folgen. Am Rand die natürlichen Zahlen 1 2 3 4 und so weiter. den der zweiten Diagonalen die Dreieckszahlen 1 3 6 10 und so weiter
5:39 und sogar die Fibonacci Zahlen lassen sich durch schräge Summen im Dreieck finden.
5:48 Das Pascalche Dreieck ist wie eine Schatzkarte voller mathematischer Kostbarkeiten. Man kann das Pascalche Dreieck auch
5:58 durch Binomialkoeffizienten aufstellen, denn es gilt n über k + n über k + 1 = n + 1 über k + 1. Das n steht dabei für die Zeile im Dreieck
6:12 beginnend bei 0 und das k für die Position in der Zeile ebenfalls beginnend bei 0. Will man also z.B. 7 über 3 berechnen, kann man in die achte
6:24 Zeile und zum vierten Eintrag gehen. Das Ergebnis ist also 35. Über das Pascalche Dreieck sind also schon viele faszinierende Eigenschaften bekannt.
6:35 Dennoch gibt es ungelöste Rätsel, die bis heute offen sind. Eines davon ist die Singmaster Vermutung. Der Mathematiker David Singmaster
6:44 beschäftigte sich in den 1970er Jahren mit einer scheinbar einfachen Frage: Wie oft taucht eine bestimmte Zahl im Pascalischen Dreieck auf? Ganz außen im
6:55 Dreieck steht natürlich in jeder Zeile die eins. Diese Zahl kommt also unendlich oft vor. Die zwei hingegen erscheint nur ein einziges Mal, nämlich
7:06 in der dritten Zeile. Die 3 erscheint genau zweimal im Dreieck. Die sechs taucht genau dreimal im Pascalischen Dreieck auf und die zehn können wir
7:16 genau viermal finden. Es wurde bisher keine Zahl gefunden, die genau fünf mal auftaucht. Die Zahl 120 kann man genau sechsm im Pascalischen
7:27 Dreieck finden [Musik] und es wurde auch noch keine Zahl
7:42 gefunden, die genau sieben mal auftaucht. Es wurde bisher nur eine Zahl gefunden, die genau acht mal auftaucht, nämlich 3003.
7:52 siehst du gleich die Zahl, die am häufigsten auftaucht, denn es wurde noch keine Zahl gefunden, die mehr als acht mal auftaucht.
8:01 Singmas vermutete, dass es für jede Zahl, außer für die unendlich oft auftauchenden Einzeln eine feste Obergrenze gibt, wie oft sie vorkommen
8:11 kann. Mit anderen Worten, auch wenn man das Pascalche Dreieck noch so weit nach unten zeichnet, man würde keine Zahl finden, die unendlich viele Male
8:20 wiederkehrt. Das klingt vielleicht naheliegend, ist aber keineswegs bewiesen. Bis heute kennt man zwar viele Beispiele, wo Zahlen mehrfach vorkommen
8:29 und man weiß, dass die Häufigkeiten manchmal erstaunlich hoch werden, wie bei der 3003, die acht mal auftaucht. Doch wie groß diese Obergrenze ist und
8:39 ob es sie überhaupt gibt, das ist bis heute eines der Rätsel der Zahlentheorie. Und das ist nicht das einzige Geheimnis, das im Pascalischen
8:48 Dreieck steckt. Wenn man die Zahlen im Pascalischen Dreieck betrachtet und jede geradezahl durch ein weißes Feld ersetzt und jede ungeradezahl durch ein
8:58 schwarzes Feld ersetzt, dann entsteht plötzlich ein völlig neues Muster, das Shippinski Dreieck. Eine der bekanntesten fraktalen Figuren
9:09 überhaupt. Mit jedem Schritt ins Unendliche wiederholt sich dieses Muster immer feiner und zeigt, dass selbst einfache Rechenregeln überraschend
9:19 komplexe Strukturen hervorbringen können. Das Pascalche Dreieck ist also nicht nur ein Teil der Kombinatorik oder Zahlentheorie, es ist auch ein Fenster
9:29 in die Welt der Fraktale. Das Pascalche Dreieck ist also soweit mehr als nur ein einfaches Zahlenspiel. Es verbindet einfache Rechenregeln mit tiefen,
9:39 ungelösten Fragen und erstaunlichen Mustern. Und genau das ist das Besondere an der Mathematik, dass aus etwas so einfachem, etwas so faszinierendes
9:49 entstehen kann. Wenn dir das Video gefallen hat, würde ich mich sehr über ein kostenloses Abo freuen. warten noch viele weitere Themen und Geschichten aus
9:57 der Welt der Zahlen. [Musik]