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Newton-Verfahren
Das Wichtigste aus dem Video
Tipp auf eine Zeit – das Video springt genau dorthin.
Transkriptautomatisch erstellt · 47 Zeilen
- mit dem Newtonverfahren kannst du näherungsweise Null stellen Schnittpunkte von Funktion oder eben auch Wurzeln Berechnen der Erfinder ISIC
- Newton der schlauerfuchs hat sich überlegt dass der Schnittpunkt einer Funktion mit ganz viel Augen zu halten ungefähr das gleiche ist wie der
- Schnittpunkt einer Tangente dafür hat er ganz einfach nur die tangentengleichung ull gesetzt und das Ganze nach X umgestellt sozusagen er hat damit die
- Nullstelle der Tangent ausgerechnet so dann hat er die Augen wieder aufgemacht und sich gedacht na schöne Scheiße der Punkt ist ja ganz schön weit von unsere
- eigentliche Nullstelle entfernt aber das ganze ist kein Problem denn wenn wir dasselbe Verfahren noch mal machen und zwar diesmal mit diesem Startpunkt ja
- das bedeutet wenn wir auch hier wieder die Tangente anlegen dann erkennt man dass man schon richtig nah an der eigentlichen Nullstelle dran ist und
- dann ist ihm aufgefallen wenn man das nur ein paar Mal macht dann ist man unglaublich nah an dem gesuchten Ergebnis das heißt wir haben es mit
- einem iterativen Verfahren zu tun das bedeutet dass wir ein und dieselbe Rechnung so oft durchführen bis ungefähr das rauskommt was wir ausrechnen wollen
- das heißt wir setzen x0 ein und bekommen X1 als Ergebnis dann setzen wir X1 ein und bekommen X2 als Ergebnis und so weiter und so fort die große Frage ist
- doch aber wie viele Schritte müssen wir machen und noch viel wichtiger kommt denn am Ende wirklich das raus was wir ausrechnen wollen welche Voraussetzungen
- es gibt und welche coolen Eigenschaften das Newton Verfahren hat das schauen wir uns jetzt an einer Aufgabe [Musik]
- an die Voraussetzung für das Newtonverfahren ist dass die Funktion nicht linear ist klar sonst gibt's nämlich keine Tangente außerdem muss zu
- jedem Zeitpunkt der Iteration die erste Ableitung leich 0 sein wäre sie gleich 0 müssten wir nämlich durch ull teilen und das würde nicht funktionieren sollte
- also irgendwann mal die erste Ableitung gleich 0 sein dann wähl einfach einen anderen x-Wert das eigentliche Problem ist aber dass der Startwert nah genug
- bei der gesuchten Lösung sein muss ja aber das Dilemma ist doch gerade dass wir die echte Lösung nicht kennen das heißt wir wissen nicht ob der Startwert
- nun nah genug liegt oder nicht das heißt entweder musst du schlau raten oder Dir wird ein Startwert vorgegeben sollte diese Voraussetzung mal nicht erfüllt
- sein könnte es passieren dass das Verfahren divergiert das heißt GEG minus oder plus unendlich schießt oder es oszilliert das heißt es springt immer
- zwischen zwei Werten hin und her und dann haben wir ja auch nichts gekonnt genauso ärgerlich wäre es auch wenn wir eine Nullstelle suchen das Verfahren uns
- aber eine komplett andere Nullstelle liefern kann auch passieren wenn es mehrere gibt das heißt wir müssen nah genug an der gesuchten Lösung sein damit
- es auch gegen das gewünschte Ergebnis konvergiert wenn jedoch alle Voraussetzungen erfüllt sind dann weißt du dass du quadratische Konvergenz hast
- das bedeutet dass die Anzahl der richtigen Nachkommastellen sich in jedem Schritt verdoppeln kurz gesagt wenn du nur nah genug dran bist dann wirst du
- nach drei oder vier Schritten mit dem Newtonverfahren nicht mal mit deinem Taschenrechner das eine Ergebnis vom nächsten unterscheiden können kurz
- gesagt du bist fertig das Newtonverfahren braucht wie jeder Algorithmus per Definition ein Abbruchkriterium das heißt du musst ja
- irgendwann wissen wann du fertig bist und zwar meistens wird vorgegeben mach eine bestimmte Anzahl an Schritten oder hör einfach auch wenn das X sich nicht
- mehr verändert auf 3 4 5 20 nachkomm Stellen oder wenn die Funktion ganz ganz nah bei Null ist ja das heißt irgendein Kriterium muss vorgegeben sein und
- danach richtest du dich und dann hörst du auch einfach auf zu rechnen probieren wir das ganze z.B doch mal an dieser Funktion ich habe dir schon mal den
- langweiligen Teil abgenommen und ungefähr geraten wo eine Nullstelle liegen könnte und zwar habe ich einfach mal ein paar x-Werte eingesetzt sowas
- wie 1 oder 2 und da ist mir aufgefallen dass es einen Vorzeichenwechsel gibt das bedeutet dass irgendwo zwischen x = 1 und x = 2 eine Nullstelle liegen muss so
- natürlich wäre es ziemlich schlau als Startwert sowas wie 1,5 zu nehmen genau in der Mitte aber ich bin nicht schlau ich nehme als Startwert einfach mal x0 =
- 1 gucken was passiert für das Newton Verfahren brauchen wir die erste Ableitung deshalb habe ich sie dir schon mal berechnet du kannst aber auch gerne
- mal auf Stopp drücken und selber probieren oder dir noch mal das Video zur Differentialrechnung anschauen in jedem Fall möchte ich aber bitte dass du
- dir diese Tabelle übernimmst in der ersten Spalte stehen immer die Anzahl der Schritte ich habe jetzt mal festgelegt wir rechnen drei Schritte in
- der zweiten Spalte stehen die x-Werte je weiter wir rechnen desto eher hoffen wir kommen wir an die echte Nullstelle ran in der dritten Spalte stehen die
- Funktionswerte also wenn man diese x-Werte in die Ausgangsfunktion einsetzt ja je näher dieser Wert gegen Null geht desto eher hoffen wir dass wir bald
- fertig sind und in der letzten Spalte steht die erste Ableitung das heißt dass man diese Werte noch in diese erste Ableitung einsetzen muss und ich habe
- extra mal eine Tabelle mit all diesen Werten angefertigt denn du brauchst immer nur diese drei Werte in die Formel einsetzen und kommst immer jeweils zum
- nächsten x-Wert aber gut lang genug geredet jetzt rechnen wir einmal ich habe festgelegt dass x0 der Startwert g=ich 1 ist wenn wir die 1 jetzt in die
- Funktion einsetzen habe ich schon mal gemacht kommt dabei -5 raus wenn wir die Zahl 1 in die erste Ableitung einsetzen dann haben wir 3 + 6 sind 9 - 1 sind 8
- und wenn du jetzt diese drei Werte in diese rote Formel einsetzt dann sollten wir auf den nächsten Iterationsschritt kommen das heißt
- 1- dieser Wert geteilt durch diesen Wert tippt das ruhig mal Taschenrechner ein da müsste ungefähr sowas wie 1 625 bei rauskommen ich habe für dich
- schon mal den Wert 1,625 in die Funktion und in die erste Ableitung eingesetzt außerdem habe ich schon mal den nächsten Iterationsschritt
- berechnet und zwar indem wir machen 1,625- diesen werteilt durch diesen Wert und ich würde vorschlagen dass du jetzt mal auf Stopp drückst und diese Werte
- überprüfst bzw den Rest der Tabelle vervollständigst einfach mal als kleine Übungsaufgabe und machen wir es so runde einfach mal auf sechs nachkomm Stellen
- so wie ich es gemacht habe damit wir auch die gleichen Ergebnisse haben denn sollte man hier anders runden könnten die Ergebnisse voneinander abweichen ist
- halt numerische Mathematik am Ende sollte sich der Wert auf ungefähr sowas wie 1,45 oder 1,46 einpendeln denn man sieht schon dass der Funktionswert sehr
- nah bei Null ist das soll uns an dieser Stelle reichen wenn du noch irgendeine andere Frage zum Newton Verfahren oder irgendeinem anderen Thema hast schreib
- mir einfach ansonsten wünsche ich dir einen schönen Tag und wir sehen uns beim nächsten Video ciao
Zum Nachlesen
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