Physik · Klasse 9–10 · aktualisiert
Halbwertszeit verstehen und berechnen
Die Halbwertszeit beschreibt die Halbierung eines großen Kernbestands. Berechne Restanteil und Aktivität und lies Zerfallskurven.
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Kurz gesagt
Die Halbwertszeit ist die Zeit, nach der im statistischen Modell die Hälfte einer großen Zahl gleichartiger radioaktiver Kerne noch nicht zerfallen ist. Nach jeder weiteren Halbwertszeit halbiert sich der jeweilige Rest erneut, ebenso die Aktivität.
Die Halbwertszeit gibt an, nach welcher Zeit im statistischen Modell noch die Hälfte der radioaktiven Ausgangskerne unzerfallen ist. Nach jeder weiteren Halbwertszeit halbiert sich der jeweils verbliebene Anteil erneut. Auf dieser Seite lernst du, Restkernzahl und Aktivität zu bestimmen, Zerfallskurven zu deuten und typische Denkfehler zu vermeiden.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Stell dir eine große Zahl gleichartiger radioaktiver Kerne vor. Du kannst nicht vorhersagen, wann ein bestimmter Kern zerfällt. Für viele Kerne lässt sich der Verlauf jedoch statistisch beschreiben. Hat ein Nuklid eine Halbwertszeit von 8 Tagen, dann gilt für eine große Anzahl von Kernen: nach 8 Tagen bleibt die Hälfte, nach 16 Tagen bleibt ein Viertel, nach 24 Tagen bleibt ein Achtel. Die Aussage bezieht sich immer auf die jeweils noch vorhandenen Kerne. Sie bedeutet nicht, dass in jedem Zeitabschnitt dieselbe Anzahl zerfällt.
Definition
Halbwertszeit
Die Halbwertszeit T_{1/2} ist die Zeitspanne, nach der die Zahl der noch unzerfallenen Ausgangskerne im statistischen Modell auf die Hälfte gesunken ist.
Merke: Ein einzelner Zerfall ist zufällig. Die Halbwertszeit beschreibt den statistischen Verlauf einer großen Zahl gleichartiger Kerne.
Teste dich
Nach jeder Halbwertszeit wird der aktuelle Rest halbiert. Nach n Halbwertszeiten lautet der Restanteil:
\left(\frac12\right)^n
Zuerst teilst du die vergangene Zeit t durch die Halbwertszeit T_{1/2}:
n=\frac{t}{T_{1/2}}
Dann gilt für die erwartete Restkernzahl:
N(t)=N(0)\left(\frac12\right)^{t/T_{1/2}}
N(0) ist die Kernzahl zu Beginn. N(t) ist die erwartete Kernzahl nach der Zeit t. Auch von einem später gewählten Anfangswert halbiert sich der Rest während der nächsten Halbwertszeit.
Der Verlauf ist exponentiell: In gleichen Zeitabschnitten verschwindet derselbe Anteil, nicht dieselbe Anzahl. Das Modell nähert sich null an. Eine echte endliche Probe kann jedoch irgendwann ihren letzten radioaktiven Kern verlieren.
| Verstrichene Halbwertszeiten | Verbleibender Anteil | Verbleibende Prozentzahl |
|---|---|---|
| 0 | 1 | 100\,\% |
| 1 | \frac12 | 50\,\% |
| 2 | \frac14 | 25\,\% |
| 3 | \frac18 | 12{,}5\,\% |
Beispiel
- 1Eine Probe enthält anfangs N(0)=100\,000 radioaktive Kerne. Die Halbwertszeit beträgt 8 Tage. Wie viele Ausgangskerne sind nach 16 Tagen noch unzerfallen?
- 2Bestimme die Zahl der Halbwertszeiten: n=16\,\mathrm{d}:8\,\mathrm{d}=2.
- 3Nach zwei Halbwertszeiten bleibt der Anteil \left(\frac12\right)^2=\frac14.
- 4Berechne die Restkernzahl: N=100\,000\cdot\frac14=25\,000.
- 5Nach 16 Tagen sind im Modell noch 25 000 Ausgangskerne unzerfallen.
Teste dich
Die Aktivität A gibt die mittlere Zahl der Zerfälle pro Sekunde an. Ihre Einheit ist Becquerel: 1\,\mathrm{Bq} bedeutet im Mittel einen Zerfall pro Sekunde. Für ein und dasselbe Nuklid sind bei mehr unzerfallenen Kernen auch mehr Zerfälle pro Zeit zu erwarten. Deshalb ist die Aktivität proportional zur Restkernzahl und besitzt denselben Halbierungsverlauf:
A(t)=A(0)\left(\frac12\right)^{t/T_{1/2}}
A(0) ist die Aktivität zu Beginn. A(t) ist die erwartete Aktivität nach der Zeit t.
Beispiel
- 1Eine Probe hat anfangs eine Aktivität von 800\,\mathrm{Bq} und eine Halbwertszeit von 6\,\mathrm{h}. Gesucht ist die Aktivität nach 18\,\mathrm{h}.
- 2Anzahl der Halbwertszeiten: n=18\,\mathrm{h}:6\,\mathrm{h}=3.
- 3Nach der ersten Halbwertszeit: 800\,\mathrm{Bq}\to400\,\mathrm{Bq}.
- 4Nach der zweiten Halbwertszeit: 400\,\mathrm{Bq}\to200\,\mathrm{Bq}.
- 5Nach der dritten Halbwertszeit: 200\,\mathrm{Bq}\to100\,\mathrm{Bq}.
- 6Probe: 800\,\mathrm{Bq}\cdot\left(\frac12\right)^3=100\,\mathrm{Bq}.
- 7Nach 18 Stunden beträgt die Aktivität im Modell 100 Bq.
Teste dich
Bei einer Zerfallskurve steht auf der waagerechten Achse die Zeit. Die senkrechte Achse zeigt zum Beispiel die Restkernzahl N oder die Aktivität A. Suche auf der Kurve einen Wert und dessen Hälfte. Der Zeitabstand zwischen den beiden Punkten ist die Halbwertszeit. Die Tabelle zeigt denselben Verlauf als Zahlenwerte.
Achte auf drei Denkfehler: Die Kurve verliert nicht in jedem Zeitabschnitt dieselbe Kernzahl, sondern denselben Anteil. Nach der ersten Halbwertszeit halbierst du den verbliebenen Wert. Die Halbwertszeit sagt nichts über den Zeitpunkt eines einzelnen Zerfalls.
| Abnahme der Restkernzahl | Wert |
|---|---|
| 0 min | 800 Kerne |
| 4 min | 400 Kerne |
| 8 min | 200 Kerne |
| 12 min | 100 Kerne |
Beispiel: So bestimmst du die Halbwertszeit
- 1Wähle einen Wert auf der Kurve, etwa N_0.
- 2Bestimme dessen Hälfte N_0/2.
- 3Lies die zu beiden Werten gehörenden Zeiten ab.
- 4Die Zeitdifferenz ist die Halbwertszeit.
Teste dich
Alles auf einen Blick
Halbwertszeit
Definition
statistische Halbierung vieler gleichartiger Kerne
Schritte
nach jeder Halbwertszeit den aktuellen Rest halbieren
Restanteil
nach n Halbwertszeiten ein Halb hoch n
Restkernzahl
Anfangsbestand mal Restanteil
Aktivität
bei einem Nuklid gleicher Halbierungsrhythmus
Kurve
Zeitdifferenz zwischen einem Wert und seiner Hälfte
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
Restkernzahl nach drei Halbwertszeiten
- 1Eine große Probe enthält zunächst 960 gleichartige radioaktive Kerne. Ihre Halbwertszeit beträgt 5 h. Gesucht ist der erwartete Rest nach 15 h.
- 2n=15\,\mathrm{h}:5\,\mathrm{h}=3 Halbwertszeiten.
- 3Der Restanteil ist \left(\frac12\right)^3=\frac18.
- 4Damit gilt N=960\cdot\frac18=120 Kerne im statistischen Modell.
Fehler finden
Den verbleibenden Bestand halbieren In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 3Die zweite Halbwertszeit halbiert die verbleibenden 360 Kerne: 360\cdot\frac12=180 Kerne nach 18 min.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Nach einer Halbwertszeit bleiben Prozent, nach zwei Halbwertszeiten Prozent und nach drei Halbwertszeiten Prozent der Ausgangskerne unzerfallen.
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback