Zylindermenge

Grundidee und Definition

Eine Zylindermenge ist eine spezielle Teilmenge eines kartesischen Produkts und wird in der Maßtheorie verwendet. Sie beschreibt eine Bedingung, die nur von bestimmten Komponenten eines Elements abhängt. Solche Mengen sind wichtig, weil sie zur Definition von Produkt-σ-Algebren dienen. Diese bilden wiederum die Grundlage für Produktmaße und Produktmodelle.

Sei I eine beliebige Indexmenge und

Ω := ∏_{i∈I} Ω_i.

Für eine Teilmenge J ⊂ I ist die kanonische Projektion

π_J: Ω → ∏_{i∈J} Ω_i, π_J(ω) = ω|_J,

definiert. Dabei bezeichnet ω|_J die Einschränkung von ω auf die Komponenten mit Indizes aus J. Eine Menge der Form

π_J^{-1}(M) ⊂ Ω für M ⊆ Ω_J := ∏_{i∈J} Ω_i

heißt Zylindermenge mit Basis J.

Bedeutung der Projektion

Eine Zylindermenge besteht genau aus den Elementen ω von Ω, deren auf J eingeschränkte Komponenten in M liegen:

{ω : π_J(ω) ∈ M} ⊂ Ω.

Die Komponenten außerhalb von J spielen dabei keine Rolle. Sind j₁, …, jₙ Indizes und gilt

π_J(ω) = (π_{j₁}(ω), …, π_{jₙ}(ω)),

so hat die Zylindermenge die Form

{ω : (π_{j₁}(ω), …, π_{jₙ}(ω)) ∈ M}.

Sie wird häufig mit Z_{π_{j₁}, …, π_{jₙ}, M} abgekürzt.

Zylindermengensysteme und Rechteckszylinder

Ist auf Ω_J eine σ-Algebra A_J gegeben, dann heißt

Z_J := {π_J^{-1}(A_J) | A_J ∈ A_J}

das Mengensystem der Zylindermengen. Eine σ-Algebra ist ein Mengensystem, das insbesondere unter Komplementbildung und abzählbaren Vereinigungen abgeschlossen ist.

Ein Rechteckszylinder ist ein Spezialfall. Lässt sich A_J als kartesisches Produkt schreiben,

A_J = ∏_{i∈J} A_i für A_i ∈ A_i,

so heißt A_J Rechteckszylinder mit Basis J. Das zugehörige Mengensystem aller Rechteckszylinder ist

Z_J^R := {π_J^{-1}(A_J) | A_J ist Rechteckszylinder}.

Erzeugung der Produkt-σ-Algebra

Betrachtet man alle Zylindermengen mit endlicher Basis, erhält man

Z := ⋃_{J⊆I, J endlich} Z_J.

Dieses Mengensystem erzeugt die Produkt-σ-Algebra der σ-Algebren A_i:

⊗_{i∈I} A_i = σ(Z).

Auch alle Rechteckszylinder mit endlicher Basis genügen dazu:

Z^R := ⋃_{J⊆I, J endlich} Z_J^R

und

⊗_{i∈I} A_i = σ(Z^R).

Das Zeichen σ(Z) bezeichnet die kleinste σ-Algebra, die das Mengensystem Z enthält.